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对角矩阵是一类最简单的矩阵
给定一个方阵
我们可以求出它的特征值
和特征向量
如果它有足够多
线性无关的特征向量
做成空间的基底
那么我们就可以把它对角化
从而与对角矩阵建立联系
这节课我们来讨论
矩阵可对角化的条件和应用
我们先来看看
矩阵可对角化的条件
设一个n阶的矩阵A
它有n个线性无关的特征向量
x1到xn
我们把x1 xn作为列向量
构成一个新的矩阵S
那我们断言说S逆AS
就是一个对角矩阵lambda
那么这个对角矩阵
它的对角元素是A的特征值
lambda1到lambdan
这件事情是容易看出来的
这是因为我A去乘以矩阵S之后
等于A去乘以x1 xn
那么它就等于Ax1 Axn
因为x1是A的一个特征向量
我们设它所对应的特征值是lambda1
所以Ax1是等于lambda1x1的
相应的Axn就等于lambdanxn的
那么这个矩阵换一种形式写
可以记成是x1到xn
作为列向量构成的这个矩阵
去乘以以lambda1到lambdan
这n个特征值所做成的对角矩阵
前面这个矩阵
就是我们刚才给的S
那么这个对角矩阵呢
我们把它记成是lambda
因此我们就有AS等于Slambda
那么由假定里头
我们已知了A的特征向量
线性无关 也就是说
做成S的列向量的这n个向量
它线性无关的
所以S是可逆的
那么我两边就可以
都去同时乘以S逆
于是我们就有S逆AS
是等于对角阵lambda
好 有n个线性无关的特征向量
那么就一定可以存在着
可逆的矩阵S
使得S逆AS等于对角阵lambda
我们说如果呢
存在着可逆矩阵S
使得S逆AS为对角矩阵
我们就把这个矩阵A
是称为可对角化的
由上面的分析我们知道
反过来这个也是成立的
也就是说我们有下面的定理
给一个n阶矩阵
它可对角化的充要条件
是A有个n个线性无关的特征向量
我们刚才证的是
有n个线性无关的特征向量
一定是对角化
那么对角化的话
一定有n个线性无关的特征向量
这是因为根据定义
我们有S逆AS等于对角阵lambda
也就是AS等于Slambda
那把A的列向量记成x1 xn
那么这件事情写出来就是这样
用分量来看
就是每一个Axi等于lambdaixi
这个i从1到n的
x1到xn的就是A的特征向量
并且由S是可逆的
我们知道这n个特征向量
是线性无关的
所以我们知道了
A可对角化的充要条件
是A有n个线性无关的特征向量
那么自然的问题就是
是不是所有的方阵
都可以对角化呢
也就是说是不是所有的n阶方阵
都有n个线性无关的特征向量呢
我们有反例
我们来看这个简单的2乘2的矩阵
A是等于0 1 0 0
只有在1 2的位置上是1
其他元素都是0
我们可以计算出来它的特征值
我们知道就是0
因为这是一个上三角矩阵
这个特征值是0
这是个平凡的事情
那么我们来看
0所对应的特征向量
那也就是要来求解
齐次线性方程组Ax等于0的非0解
很容易看到它的非0解
一定是1 0的一个倍数
那么A就只有
一个线性无关的特征向量
作为一个2阶的矩阵
它只有一个线性无关的特征向量
它是不能对角化的
这样我们有例子说
并不是所有的矩阵都可以对角化
那么怎样的n阶方阵一定有
n个线性无关的特征向量呢
我们来找充分条件
先看下面的定理
假设lambda1到lambdak是A的互异特征值
也就是说这些特征值是两两不同
x1到xk是相应的特征向量
我们说x1到xk一定是线性无关的
也就是说
属于不同特征值的特征向量
线性无关
我们来看一下它的证明
我们先给出这k个特征向量
x1到xk的任何一个线性组合
等于0
c1x1加到ckxk等于0
怎么办呢
我们两边来左乘以矩阵A
那因为Ax1是等于lambda1x1
Axk等于lambdakxk
所以我们就有这个等式
那么再接着去左乘以A
那么就得到c1x1的平方乘以x1
一直加到ckxk的平方
乘以xk等于0
不断的去左乘以A
一直我们可以得到
c1x1的k-1次幂乘以x1
一直加到ckxk的k-1次幂
乘以xk等于0
那我们把这n个等式
写成矩阵的形式
我们可以写成c1x1 ckxk
作为列向量构成的这个矩阵
去乘以这样的一个系数矩阵
它的列向量分别是1 1 1
lambda1 lambda2 lambdak lambda1的k-1次幂
lambda2的k-1次幂 lambdak的k-1次幂
那么上面这k个方程
就是这两个矩阵的乘积等于0
那我们说这个矩阵是很熟悉
很特殊的一个矩阵
它的行列式
就是一个范德蒙行列式
它的行列式是什么呢
它的行列式是相应的这k个数
lambdai-lambdaj 这个j小于i
小于等于k 整个的大于等于1
所有的这个乘积
那么也就是
左边第二个矩阵的行列式
是一个范德蒙行列式
那因为我们的特征值lambda
它是两两互异的
所以它们的差一定是不等于0的
那因此这个行列式是不等于0的
这是一个齐次线性方程组
关于c1x1 ckxk的一个
齐次线性方程组
那么这个矩阵呢它是可逆矩阵
所以我们一定有前面的
这个c1x1 ckxk是等于0的
那么特征向量呢
x1到xk它一定是非0向量
所以我只能是c1到ck
这k个数是等于0
因此我们知道x1到xk
这k个向量应该是线性无关的
这样我们证出来
属于不同特征值的特征向量
线性无关
这个定理呢也可以这样来考虑
我们说k等于2的时候
那我们设c1x1加上c2x2等于0
两边去左乘以A
就等于c1lambda1x1加上c2lambda2x2
等于0
那由这个方程去乘以
第一个方程乘以lambda2
我们就得到c1lambda1-lambda2x1等于0
那因为lambda1和lambda2不相等
所以这个是个非0的数
x1是又是特征向量
所以它是一个非0的向量
那么因此我们一定可以得到
c1等于0
c1等于0代进去以后 就得到
代进第一个表达式里面
得到c2x2等于0
而这个x2是非0向量
所以我们一定又可以得到
c2等于0
因此x1和x2是线性无关
那相同的论证可以扩展到
任意多个特征向量的情况
我们假设说
c1x1一直加到ckxk等于0
两边用A去乘
再减去原来线性组合的lambdak倍
最后就剩下一个
得0的x1xk-1的线性组合
也就是说我们一定会得到什么呢
我们用A去左乘的话
我们这个如果是1这个如果是2
我们得到2减掉1去乘以lambdak
我们就得到c1lambda1-lambdakx1
一直加到cklambdak-1lambdakxk-1等于0
再接着重复这样的步骤
用数学归纳法最后我们可以得到
这个c1lambda1-lambdak
lambda1-lambdak-1一直到lambda1-lambda2x1
等于0
那么我们知道
这些特征值是两两不等
所以这些数都是非0数
而x1呢是一个非0的向量
因此我们一定可以得到
c1是等于0的
从而最终每一个ci等于0
这样属于不同特征值的特征向量
线性无关
这是另外一个证明
那好 我们知道
对于每一个特征值lambda
A-lambdaI行列式等于0
这是我们所谓的特征方程
那么A-lambdaI是不可逆的
因此呢A-lambdaI乘以x等于0
这个齐次线性方程组
一定有非0解
也就是说我们每一个特征值
至少有一个特征向量
由上面这个定理
很自然的可以得到
矩阵可以对角化的一个充分条件
也就是说一个矩阵
它如果有n个
两两互异的特征值的话
每一个特征值又对应着
一个特征向量
那属于不同特征值的特征向量
又线性无关
这样我们就一定可以得到
n个线性无关的特征向量
从而可以一定可以对角化
如果给你一个矩阵
如果有n个两两互异的特征值
它就一定可以对角化
回到刚才的这个反例
我们刚才的例子是0 1 0 0
那这个矩阵
它是有重特征值
与上面这个充分条件不矛盾
我们说它是不可对角化的
那与我们这件事不矛盾
那是不是n阶的矩阵
一定有n个特征值呢
这个不一定
要与讨论的数域有关
比如上节课举过的例子
旋转90度的这个矩阵
它的特征多项式
A-lambdaI的行列式
是等于lambda平方加1的
如果在实数域上讨论的话
它是没有根的
是没有实特征 没有实特征根
但是如果放在复数域上看的话
我们一定有lambda1等于i
lambda2等于-i
所以说我们是在这个复数域上看
n阶矩阵它的特征多项式
作为一个关于lambda的n次多项式
必有n个根
那么这n个根
如果又两两互异的话
我们就一定可以找到
n个线性无关的特征向量
从而矩阵可以对角化
那如果矩阵是有相同的特征值
也就是说有重特征根的话
它是不是就不能对角化了呢
这个肯定也不见得是
最平凡的例子是什么呢
最平凡的例子是单位阵
那单位阵它有重特征值1
lambda1等于lambda2等于1
任何的可逆矩阵S拿过来
都可以做成S逆IS等于I
它是对角阵
这反映了所有非0的特征向量
都是单位矩阵的特征向量
也就是说我一个矩阵
如果是有重特征值的话
也不见得它就不能够对角化
只要
它有n个线性无关的特征向量
它就一定可以对角化
具有重特征值的这个矩阵
有些能够对角化 有些则不能
主要看矩阵是否有足够多的
线性无关的特征向量
从而能够作为列向量
构成可逆矩阵
使得矩阵可以对角化
这一点不仅仅由特征值
所谓的代数重数决定
我们还要引入几何重数
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
