当前课程知识点：线性代数(1) > 第十一讲 四个基本子空间的基和维数 > 11.3 例题 > 11.3
最后我们来看两道例题
第一道例题呢
是我们给一个n阶方阵
我们总存在可逆阵P和Q
使得PAQ等于这样一个简单形式
这个是来自于我们前面的
就是一个A我们可以通过行变换
把它变成一个简化的行阶梯形
然后再通过列交换把它变成一个
我这块用个P0吧
把它变成一个Ir F 0 0的形式
那么对这个呢
我们可以继续用这个Ir
把这个F消去
也就是说通过列变换
这个分块的列给它乘上一个负F
加过来
这样我们就可以最终把它变成
Ir 0 0 0
所以呢
任何一个n阶的方阵呢
我们可以通过行变换
也就是左乘一些可逆阵
和列变换 就是右乘一些可逆阵
最终把A化成了Ir 0 0
这种形式
想通过这个例子说明
这个P和这个Q
所进行的行和列变换
记录下来的这两个可逆矩阵呢
实际上也能帮助我们给出
A的四个基本子空间的基
我们先来使用分块矩阵
把P写成两部分 P1和P2
分别是P这个可逆矩阵的前r行
和后n-r行
Q这个矩阵的前n列和后n-r列
好 我们把这两个分块矩阵呢
代到上面这个等式中
我们可以得到下面这些关系
我们在这儿写一下P1 P2
这是A乘上Q1 Q2
那么这个代进去呢
就变成了P1 P2
乘上AQ1 AQ2
那么这个再一乘呢
就变成P1AQ1 P1AQ2
P2AQ1和P2AQ2的形式
然后再跟Ir 0 0比较一下
我们就得到这四个等式
这四个等式呢
我们整合一下 我们可以看到
P1AQ等于Ir 0
就是第一个部分
第二个呢
就变成PAQ1等于Ir 0 0
好 我们来看这两个等式
第一个等式和第二个等式呢
我们可以看到
这个等式我们可以看到
P1AQ等于Ir 0 0
P1A乘上Q的后n-r列是0
这样就告诉我们
实际上呢
就是P1A乘上Q的后n-r列等于0
这是后n-r列产生的n-r个零向量
所以Q的后n-r列呢
就是NA的一组基
同样的道理呢
这个P的后n-r行呢
是NA转置的一组基
好 用这个办法我们可以看到
CA跟CAQ1是一样的
因为这个Q1它是一个列无关的
或者说列满秩的
那么A乘上Q1以后呢
它还是列满秩的
我们在这儿分析
CAQ1是CA的子空间
但是CAQ1
它的维数已经达到了R
所以它跟CA是一样的
这样我们就可以看出
它是列满秩的
我们可以看出AQ1它一共有r列
正好是CA的一组基
这样我们就给出了
三个空间的一组基了
最后我们看到CA转置呢
又等于CA转置乘上P1转置
这个跟上面这个是同样的道理
所以我们看到P1A也是行满秩的
这样我们实际上呢
得到了A的行空间的一组基
有些同学可能会问
这个P和Q我们怎么来算呢
实际上呢我们在刚才的
我们只要把P和Q
做个行变换和列变换
我们由A变到Ir F 0 0
然后再变到Ir 0 0
我们只要记录一下
我们所进行的行列变换
所用的矩阵
那这个记录呢
大家可以比较一下
A如果可逆的时候
化成可逆矩阵 求可逆矩阵
记录的那个行变换的方法
是完全类似的
好 我们再来看第二个例子
设A B均为m乘n阶阵
且它们的四个子空间均相等
进一步我们可以假设
A假如是这个样子的
B也是下面几行都是0
那么我们希望能根据
A和B的四个子空间相等
我们来推出F和G也是一样的
这个我们只要按照
四个基本子空间的定义
就可以最后推出来
F和G是相等的
我们来看
A B的行空间首先是重合的
AB的行空间重合呢
则A的第一行
A的第一行属于A的行空间
因为A B的行空间重合
所以它的A的第一行
也是B的行向量的线性组合
但是呢 我们可以看到
B的行向量的线性组合呢
B 比如说我们简单写一下
B呢前面比如说是1 0 0
0 1 0 0 0 1
底下都是0 0 这是G
那么我们看
B的行向量的线性组合呢
最后因为A的第一行
它的元素是1 0 0
然后这面是F部分 F的第一行
所以我们看到
除了F 前面这部分呢
除了第一个1以外 其他都是0
这样保证了
B的行向量的线性组合呢
实际上没有用到了B的第二行
第三行这些的
所以实际上
它只能等于B的第一行
依此类推呢 我们可以看到
F和G只能是相等的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
