当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十一讲 特征值在微分方程中的应用 > 21.1 引言 > 21.1 引言
一个矩阵可以对角化
我们就可以方便地计算它的方幂
从而我们会求解
Uk等于AkU0这类差分方程
这节课我们来看看如何求解
du/dt等于Au这类微分方程
首先我们回顾一下
设矩阵A是可对角化的
也就是说存在可逆矩阵S
使得S逆AS等于lambda为对角阵
那么A就等于SlambdaS逆
于是我们就可以来计算
A的k次幂等于
Slambda的k次幂乘以S逆
对于差分方Uk+1等于AUk
它的解呢
是Uk等于A的k次幂乘以U0
我们代进去A的k次幂
等于Slambda的k次幂乘以S逆
那这时候我们说
我们把S的列向量记成x1 xn
lambda的k次幂是对角元
lambda1的k次幂乘以
一直到lambda n的k次幂
S逆U0 列向量我们是c1 cn
那么Uk就等于c1lambda1的k次幂
乘以x1一直加到
cnlambdan的k次幂xn
其中呢U0等于c1x1+cnxn
或者我们可以看成是
S逆U0等于C
也就是说U0可以写成SC
那S呢是x1 xn
C呢是C1 Cn
这样我们就得到U0
用特征向量x1 xn的线性表示
表示系数是C1 Cn的
这种表示形式
那其中xi是A的关于特征值
lambdai的特征向量
也就是Axi等于lambdaixi
好 这是对于差分方程
那么对于连续版本的方程
也就是微分方程
我们来考虑下面的问题
设关于t的向量值的可导函数
u u（t）
它的分量有u1（t） un（t）
它满足微分方程du/dt等于Au
其中A是一个n阶的常数矩阵
我们来求解
这个向量值的函数u（t）
那么这个可以换成du1/dt
dun/dt等于a11 a1n
a21 a2n an1 ann
u1 u2 un
我们看U是数值函数
那么这个方程就是du/dt
等于Au 其中这个A是一个常数
而我们如果特别的
加一个初始条件U0
当t等于0的时候
等于已知的一个数U0
那么它的解呢
很自然的我们去做积分
就得到这个u（t）是等于
e的at次幂乘以这个常数u0
也就是说它的这个解
是一个指数函数乘以一个常数
进一步的
如果我们的A这个矩阵
是一个对角矩阵
对角线上的元素是lambda1 lambdan
那么我们的方程组du/dt等于Au
就变成这种形式
那它等价于每一个分量
dui/dt等于lambdaiui
这个lambdai是常数
退化成刚才数值情形的方程
那么每一个分量
就是指数函数elambdaitci
其中的ci是常数
那在这种情况下
每一个分量函数的倒数
是仅依赖于该分量自身的
那这类方程组呢
称为是解耦的
那它和数值情形的方程是相同的
那么问题是怎么样来处理
一个一般的矩阵
求解du/dt等于Au呢
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
