当前课程知识点：线性代数(1) > 第五讲 矩阵的逆 > 5.7 分块矩阵的消元和逆 > 5.7 分块矩阵的消元和逆
好 我们借助于可逆矩阵
我们还可以对分块矩阵进行消元
我们考虑这样的简单的一个分块矩阵A B C D
其中呢我们要求A是可逆的
我们想要对它进行来消元
可以对这个分块矩阵来做初等行变换
使得它能够化成所谓的分块上三角阵
那这个是A B C D这个矩阵
A因为是可逆的
我要对它来做初等行变换的话
想要把这个C的这个位置给化成0
我需要做的是第二个块行
减掉第一个块行去左乘以CA逆
如果用矩阵语言来描述
使用分块初等矩阵这个事情就是
我A B C D这个分块矩阵
左乘以主对角线上是单位阵
然后在21这个块的位置是负的CA逆
那么标志着说我的A B C D这个矩阵
的第二行减掉第一行去左乘以CA逆
从而得到这个分块上三角矩阵
这是在A可逆的情况下
我们可以做这样的操作
类似的 我们为了把一般的分块矩阵
变成分块上三角阵
我们有下列三种变换
我们叫做是分块矩阵的初等行变换
我们可以把一个块行减掉
另一个块行左乘以一个矩阵P
我们可以把这个块行互换位置
可以用一个可逆矩阵去左乘某一个块行
注意到我们在第一三这两种初等行变换里头
我们都要求是左乘以
我们做的是行变换
类似的呢 我们还可以有
分块矩阵的初等列变换
那么那个时候我们就要求
矩阵所做的全都是右乘
对应着我们的列变换
好 我们用两行两块的这种
简单的例子来看一下
相应的初等行变换
可以由下面的分块初等矩阵
比如说我对A B C D这个分块矩阵
左乘以这个矩阵
这个矩阵是单位矩阵
然后在21的这个位置上是负P
那么它的作用呢
是把A B C D这个分块矩阵的
第二行减掉第一行左乘以P这个矩阵
那么第二行就变成了C-PA D-PB
那我们分块矩阵A B C D
左乘以0 I I 0这个矩阵
那么它的作用是说
我分块矩阵的第二个块行
和第一个块行交换次序
再来看下面
A B C D这个分块矩阵
左乘以P I这样的一个对角块阵
那么它相当于是在我的第一个块行里头
我左乘以P这个矩阵
变成PA PB C D
好 我们是通过这个简单的例子
来看了对分块矩阵
它所做的初等行变换
相应的分块初等矩阵
接下来再来看一下分块矩阵的逆矩阵
还是通过很简单的例子来看
设A是一个可逆的分块上三角矩阵
它的分量是A11 A12 这个位置上是0 A22
那么其中呢A11是一个P阶的方阵
A22也是一个方阵, 它是q阶的
我们要求A逆
那么我们用待定系数法来看
我们用B来表示A的逆矩阵
并且把它也作相应的分块
这样我们才能够去做乘法
那么我们会有说
乘起来以后等于单位阵
单位阵我们也做相应的分块
那么对角线上是Ip和Iq两个小的单位阵
根据这样的性质
我们可以把上面的式子
写成下面四个表达式
那么从最后一个式子里头
我可以看出来
因为A22是方阵, 是一个q阶的方阵
A22乘以B22等于q阶的单位阵
那么从这里头可以知道
这个A22一定是可逆的
而B22是等于, 就等于A22的逆矩阵
那么A22如果是可逆的
再由这个式子我们就可以知道
B21是等于0的
两边同乘以A22的逆矩阵
我们可以知道B21是个0矩阵
那么B21如果等于0
在第一个式子里头我们A11乘以B11
等于P阶的单位阵
那么A11又是一个方阵
于是A11是可逆的
而B11呢就等于A11的逆矩阵
我们把这个B22等于A22的逆
代到第二个式子里头来
我们就可以得到B12等于
负A11的逆去乘以A12乘以A22的逆
从而我们可以知道
这个可逆的分块上三角矩阵A
的逆矩阵就是这样的一个矩阵
好 我们也可以
从这个证明的过程里头可以看到
当然你也可以单独的去证明
说一个分块上三角矩阵
如果是可逆的话
它当且仅当
主对角线上的各个分块一定是可逆矩阵
这节课我们讨论了矩阵可逆的判别条件
以及用高斯-若当消元法求矩阵的逆的方法
可逆矩阵是一类非常重要的矩阵
这节课就到这里
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
