当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十一讲 特征值在微分方程中的应用 > 21.2 A可对角化的情形 > 21.2 A可对角化的情形
我们看简单的情况
A可对角化的情形
给一个简单的例子
求解du/dt等于Au
这个A是0 1 1 0
这种简单的矩阵
我们把u（t）的分量
记成x（t）和y（t）
那么上面的方程就可以写成
dx/dt等于y dy/dt等于x
那它的分量函数的导数
与其他分量有关
这个分量x它的导数dx/dt是等于y
然后dy/dt等于x
这时候又叫做它是耦合在一起的我们可以注意到
对这个简单的例子可以注意到
x+y这个函数它的导数
是等于x+y自己
x-y这个函数关于t的导数呢
是等于负的x-y
那么对于这样的情形
x+y的导数只跟它自己有关
x-y的导数只跟自己有关
我们可以求解出来
x+y等于e的t次幂乘以c1
x-y等于e的负t次幂乘以c2
这时候我们把这种情形呢
我们把这种情形称为是解耦的
那么代回到原来的xy分量
我们可以求出来
这个ut的分量xt是等于
1/2的etc1+e-tc2
yt是等于二分之etc1减掉e-tc2
整理一下就是这种情形
ut等于cet1/21/2加上c2e-t
1/2-1/2 其中的c1c2是常数
那么在这个过程中
我们把求解这个U
给转化成去求x+y
x-y的这样的解耦的过程
其中A的特征值和特征向量
起到了重要的作用
那我们看假设du/dt等于Au
它有形如elambdatx的解
其中的这个lambda是数 x是向量
我们知道这时候呢
Ax等于lambdax
也就是说我们lambda是A的特征值
x是相应的特征向量
那么A的每一个特征值lambda
与特征向量x
都会给出du/dt等于Au的一个解
在这样的想法下
我们再看看刚才的简单的例子
A是0 1 1 0这个简单的矩阵
我们可以求出它的特征值
是1和-1
那么相应的lambda1等于1的时候
A-lambda1i是-1 1 1 -1
这样的一个矩阵
我们可以相应地求出来
它的一个特征向量
x1等于1/2 1/2
我们取这个特征向量
这是属于lambda1等于1的特征向量
lambda2等于-1的时候
A-lambda2i是这个矩阵
很容易可以求出来属于
lambda2等于-1的特征向量1/2 -1/2
那我们把这两个特征向量
作为列向量拿过来
构成这个矩阵S
那么S逆AS就等于对角矩阵
对角线上的元素是lambda1等于1
lambda2等于-1
而且我们可以看到
这时候S逆是等于1 1 1 -1
那么令S逆U代进来
它等于x+y x-y
我们记成是v
于是刚才的du/dt等于Au
这个方程就
就变成关于V的一个方程
dv/dt等于lambdaV
这个就对应着我们刚才写出来的
dx+y/dt等于x+y
dx-y/dt等于负的x-y
那么很容易可以看到
这时候V是等于etc1 e-tc2的
代回到原来的u
我们u是等于Sv
那么我们就等于cet1/2 1/2
加C2e-t1/2 -1/2
好 这是一个简单的例子
从这个简单的例子
我们可以看得出来
一般的如果一个矩阵
A是可以对角化
也就是说它可以写成
SlambdaS逆的情形
我们把 知道S它的列向量
是A的特征向量
是n个线性无关的特征向量
lambda是一个对角矩阵
对角线上相应的是n个特征值
那么类似于求解差分方程
我们对于微分方程du/dt等于Au
A等于SlambdaS逆u
那么我们把S逆u合在一起
可以这个方程等价于是求
dS逆u/dt等于lambdaS逆u
那么这个时候
lambda这个系数矩阵是对角矩阵
变成我们刚才简单的情形
我们可以求出来S逆u
是等于elambda1tc1 elambdantcn
代回到原来的u
u（t）就等于c1
代回到原来的u我们知道
u是等于S去乘以
elambda1tc1 elambdantcn
而我们的这个S我们知道
它的列向量是x1 xn
于是呢u（t）
是等于c1elambda1tX1
加到cnelambdatXn
那这是我们方程的通解
并且我们注意到
当t等于0的时候
u0是等于c1x1+cnxn的
那它对应的事情就是
S逆U0等于C
这个C的分量是C1到Cn
在这里我们为什么
把它是叫成通解呢
基于我们对于微分方程的
有两个性质 基本的性质
我们称为引理1和引理2
我们设U等于U1t
U等于U2t
是齐次线性微分方程组
du/dt等于Au的解
那么容易看到它们的线性组合
c1u1+c2u2也是这个方程组的解
其中c1 c2是任意的常数
这个代进去验证就可以看到
这个又叫做
是齐次线性微分方程组的
解的叠加原理
更进一步的呢
du/dt等于Au的这个解集
A如果是一个n阶的一个方阵
它的解集是一个向量空间
是一个n维的向量空间
那么由引理1我们知道
它的解集是一个向量空间
引理2告诉我们
说这个向量空间的维数是n维
那在刚才简单的情况下
如果A是可以对角化的
我们可以求出来
du/dt等于Au的n个解
elambda1tX1 elambdantXn
这n个解是线性无关的
我们又知道解空间的维数是n维
所以这n个线性无关的解
就构成解空间的一组基底
于是它的通解就可以写成
这n个线性无关
解构成基底的线性组合
也就是说我们的通解
可以写成c1elambda1tx1
加cnelambdantXn
其中的ci是常数
下面我们给一个例子
求解初值问题du/dt等于Au
这是我们的A矩阵
我们已知t等于0的时候
U0是等于9 7 4这个向量的
首先我们可以求出来
A的属于特征值如lambda1等于1
lambda2等于2
lambda3等于3的特征向量
分别是1 0 0 1 1 0
和1 1 1
那么这个方程组的通解
就是c1etX1加上c2e2tX2
加c3e3tX3
其中c1 c2 c3都是任意的常数
因为我们知道初值条件了
所以把t等于0
代lambda到这个通解公式里头去
U0等于9 7 4
那么就等于
我们知道9 7 4这个向量
被X1 X2 X3
三个线性无关的特征向量
可以线性表示
表示系数是2 3 4
那么又因为
U0是C1x1+C2x2+c3x3的
因此我们可以求出来
C这个常数向量是等于2 3 4
那初值问题的解u（t）就是
2etx1+3e2tx2+4e3tx3
我们再来看一个简单的例子
假设一个质点
在平面立场作用下运动
设未知向量U满足du/dt等于Au
这个A是一个2乘2的这个矩阵
已知t等于0的时候
U0是等于2.9 2.6这个向量
我们求解这个初值问题
那么也是容易可以求出来
这个A的特征值是6和-1
我们说对于2乘2的矩阵
我们也可以这样来看
我们知道特征值的和
是等于矩阵的trace
也就是对角线上元素的和是5
那么特征值的乘积
是等于这个矩阵的行列式
那么很容易可以看到
这两个特征值是6和-1
那可以求得相应的特征向量
x1是-5 2 x2是1 1
那因此呢 我们方程组的通解
是c1乘以e6tX1+c2e-tX2
我们把初始条件代进来
我们说由初始条件可以知道
C1X1+C2x2应该等于
U在0点的取值
也就是我们有下面这件事情
这是我们的X1向量
这是X2向量和C1 C2相乘
等于我们右手边这个是U0
那么求解这个方程组
我们可以把C1 C2求出来
那么初值问题的解
就是相应求出来的
C1e6tX1+C2e-tX2
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
