当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十二讲 实对称矩阵 > 22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 > 22.1 实对称阵的特征值与特征向量
我们已经看到
如果一个矩阵可以对角化
那么我们就可以方便地计算
它的方幂和指数函数
我们也知道并不是每一个矩阵
都可以对角化
在这节课里我们将讨论
一类一定可以对角化的矩阵
即实对称矩阵
实对称矩阵的元素都是实数
关于对角线对称
它的特征值和特征向量
具有特殊的性质
它一定正交相似于对角阵
实对称矩阵在大家今后的学习中
会经常出现
它的理论优美 应用广泛
下面我们就让我们一起来学习
实对称矩阵
如果一个矩阵满足
A的转置等于A
那么我称这个矩阵是对称矩阵
我们本节主要讨论
实对称矩阵的性质
这类矩阵应用广泛
理论丰富 优美
我们来看
一个实矩阵的特征值可能是虚数
比如这个简单的矩阵0 1 -1 0
它的特征值正负i
那么但是呢我们可以得到说
实对称矩阵它的特征值都是实数
怎么来证明呢
我们设一个实对称矩阵A
它有特征向量x
Ax等于lambdax
x既然是特征向量
它是个非零向量
那么我们来看Ax去跟
x的共轭转置在左边相乘
那么因为Ax是等于lambdax
所以我们得到
lambdax的共轭转置乘以x
而A是一个实对称矩阵
所以A是等于A的共轭转置的
我们把x的共轭转置
和A的共轭转置合在一起
写成Ax括号的共轭再去转置
那么Ax是等于lambdax
所以这一项就得到
x的共轭转置再乘以lambda的共轭
再乘以x
那我们两边去比较一下
我们就得到lambda减掉lambda的共轭
乘以x的共轭转置乘以x等于0
而x是一个非零的向量
所以我们注意看一下
x的共轭转置和x相乘
那用分量形式来写
这个等于x1的模长平方
加x2的模长平方
一直加到xn的模长平方
如果我们一开始的矩阵
是一个n阶的矩阵
相应的x是一个n维向量的话
那么如果x是个非零向量的话
这个平方和的话
就一定是大于0的
就一定有大于0
因此在这个表达式里头
我们就一定有这个因子等于0
那么这个因子等于0
也就是说lambda的共轭等于lambda
那么也就是说lambda是一个实数
这样我们来讨论这件事情
从而证明了实对称矩阵
它的特征值都是实数
我们之前学过给你一个矩阵
看它属于不同特征值的特征向量
是线性无关的
而对于实对称矩阵呢
我们看到它有更强的结果
这个结果就是实对称矩阵
属于不同特征值的特征向量
是相互正交的
我们看一下证明
假设lambda和mu是实对称矩阵
A的互不相同的特征值
由前面的定理我们知道
lambda和mu一定是实数
我们设x和y是相应的特征向量
也就是Ax等于lambdax
Ay等于mu y
那么我们来讨论y的转置乘以Ax
一方面呢因为Ax等于lambdax
所以左手边等于
lambday的转置乘以x
同时又因为A是一个实对称矩阵
所以A是等于A的转置的
那我们把y的转置
和A的转置合在一起
变成Ay括号的转置
Ay是等于mu y
所以Ay括号的转置
是等于mu 去乘以y的转置
那我们两边去比较一下
我们就得到lambda减到mu
y的转置乘以x等于0
因为lambda和mu
是A的两个不同的特征值
lambda不等于mu
我们就一定会得到y的转置
乘x等于0
那么一个向量的转置
和另一个向量相乘
这是两个向量的点积
如果它们的点积等于0的话
也就得到y和x是正交的
这样我们就证明了
实对称矩阵属于不同特征值的
特征向量一定是正交的
我们来看一个简单的例子
A是0 1 1 0
这样的一个简单的实对称矩阵
很容易计算出来
它的特征值是1 -1两个实数
那么属于特征值1的特征向量
我们可以求出来一个是1 1
x2呢 1 -1是属于特征值
lambda2等于-1的特征向量
容易看到这两个向量
它们的点积是等于0的
也就是x1的转置和x2相乘等于0
那么也就是说
这两个向量是相互正交的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
