当前课程知识点：线性代数(1) > 第八讲 求解齐次线性方程组 > 8.3 简化行阶梯形的列变换 > 8.3 简化行阶梯形的列变换
我们在前面讨论了
Ax等于0的求解问题
我们最后呢把Ax等于0呢
转化成了一个U0x等于0
但是一般来说呢
这个U0x呢
它没有一个很好的
一般的可以写出它的形式
就是原因是因为
它主元虽然所在的列
是比较简单的
但是经常主元所在的列是分散的
并不能
比如这个例子
如果我们把非主元所在的列
都移到右边
把主元的列都移到左边
那么我们就能把U0
写成一个好的形式
第三列和第四列交换一下
那么就可以把它写成一个
1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 2 0
这样一个比较容易表达的形式
把这个呢我们是个单位阵I
然后这个向量呢
或者一个矩阵叫F
所以呢
如果我们做这么一个列变换以后
我们就可以把U0
写成一个简单的这样一个形式
那么这样做的一个问题是
代价是R虽然简单了
但是Rx等于0和U0x等于0不同解
但是呢虽然不同解
但是它们之间有非常好的关系
所以Rx等于0
为什么和它不同解呢
是因为我们做这种列变换的时候
实际上是把相应的未知量
也做了相应的变换
就是第三列和第四列做变换
那等于把第三个未知量
和第四个未知量次序换了一下
我们如果把这些因素考虑进去呢
我们也可以通过Rx的解
写出U0x的解
我们来看一个例子
这个例子中
我们先写出系数矩阵A
然后我们做化简
化到这一步以后呢
我们已经得到了我们要的U0
但是这个U0呢
它三个主元所在的列是分开的
所以呢
我们做一个列交换
把这两个非主元所在的列
移到右边去
那么我们做这样一个交换
就是第二列和第四列的交换
第三列和第五列交换
这样我们就得到了一个单位阵
主元所在的列 单位阵
和非主元所在的列
构成的这个矩阵F
那么这时候呢
我们在做这种交换的时候
第二列和第四列的交换
实际上呢
就是把x2的系数和x4的系数
做交换
所以呢我们实际上是把x2和x4
这两个变量的位置换了一下
也就是说在新的这里面呢
x4实际上占据了第二个位置
第三列和第五列换呢
那么就是x3和x5做了一个交换
那么这时候呢
我们来解一下Rx等于0
那我们知道NA和NR这两个
是不相等的
但是如果我们考虑到
这两个因素以后我们也能写出来
第一个方程
我们来看原始的这个方程
这个是x1
把这个写成方程这是x1
第一个加上0倍的
那么因为2和4做了个交换
所以应该加上0倍的x4
加上0倍的x
这是3跟5做了个交换
那么就是x3和x5
0倍的x5然后再加上2倍的x2
因为2 4交换了
所以这一列对应的是x2的系数
然后再减去x3
这一列对应的是x3的系数
所以就这样 这个方程
那么这个呢
我们写成方程呢
这是x4的系数
就是这一列对应的是x4
所以就是x4等于0
第三个呢就是x5等于0
也就是这样一个方程 这个方程这个方程解出来的呢
因为我们把这个因素考虑进去了
所以这个方程解出来的呢
就是我们要的A的解集
-2 1 0 0 0和1 0 1 0 0
这两个构成的向量全体
我们总结一下
就是我们把A呢先化成U0
然后U0又通过一个列交换
变成了这样一个形式
这样一个形式呢
我们解它的
解出的解它跟A是不一样的
就是Rx0不等价于Ax等于0
但是呢我们有下面这个规律
就是如果α是Ax等于0的解
那么P逆α就是NR的一个元素
也就是说
原因是什么呢
原因是R等于EAP
我们用这个事实
所以Aα等于0
我们可以马上推出A乘上P
再乘P逆α等于0
然后再走一步呢
两边左乘个一个E
就是EAP再乘上P逆α等于0
所以呢我们能推出
R乘上P逆α等于0
那反过来呢
如果β属于NR
那我们能推出P乘上β呢
就是属于NA
所以NA和NR呢
它们的解呢之间有个非常好的关系
就是NA过来呢
只要给每一个向量
乘一个P逆就行了
这个过去呢
就是给每个向量乘上一个P
这个β乘上就变成Pβ
这边是α 过来就是P逆α
这就是它们之间解的关系
而且通过R呢
我们很容易看出主元 主变量
它们之间的个数
这些关系都有
为什么我们要把Ax等于0
最后转化成了Ry等于0
正是因为Ry等于0呢
它的解很容易算
我们来看一下
因为R呢它就等于I F 0 0
所以我们实际上很容易写出
Rx等于0的基础解析
它是什么呢
它实际上是这个
我们考虑这样一个矩阵
N等于这个
这个我们R比如说是Ir
那么这个矩阵
我们用分块矩阵的乘法可以看出
R乘上这个矩阵是0
我们来验证一下
Ir F 0 0乘上一个-F In-r
按照分块矩阵的乘法呢
第一行乘第一列
那么就应该是-F加上F
所以呢最后是0
这个乘这个也是0
所以我们可以看到
N的每一列都是Rx的解
更进一步我们可以看到
N的这个底下这一块
它是线性无关的
所以呢延长以后
整个n减r个列向量呢
也是线性无关的
所以N呢
实际上是R的一组线性无关的解
而且能够表达Rx其他所有解
因为Rx所有解呢
都可以写成它们的线性组合
这样我们就可以看到
CN是等于NR的
R比如说这个样子的一个矩阵
我们把它写成一个I2 F 0 0
那么N呢就等于
刚才我们说了
是等于-F In-r
那么现在这个r是等于2
n是等于4 所以4减2还是2
所以最后就是-F I2
这就是我们的I2
然后呢
我们可以马上写出NR的解
它就是由N的这两列
做了所有的线性组合
就得到了Rx等于0的所有解
我们可以通过来验证一下
我们如果设a b c d呢
是Rx的一个解
任意一个解
那么我们当然有这个等式成立
I2 F 0 0
因为这个可以写成一个I2
这是F
然后我们把这个a b c d
写成一个分块的向量形式
前两个用u 后两个用v
那么就得到这样一个等式
这个等式呢
是这个的一个分块的形式
好 我们按照矩阵的乘法呢
那我们写开就是u+Fv等于0
那么u等于负的Fv
再写出来就是这个
u v等于这样一个形式
那这个形式恰好就等于Nv
这告诉我们什么呢
告诉我们这个向量
实际上是N的列向量的线性组合
列向量的线性组合
这样我们就可以算出来了
任何一个向量呢
实际上都是N的列向量
给出的一个线性组合
那么通过以上的这个例子呢
暗示了下面这个结果
就是方程的个数呢
和无关解个数的一个关系
这里的无关的方程呢
我们指的是
就是这个方程
不能被其他方程给消去
或者说这个方程的系数
和其他方程的系数
它们之间是个向量
是个线性无关的
无关方程呢
它的个数是等于A的列数
减去无关解的个数
而无关解的个数呢
实际上我们知道
是基础解系的个数
这个我们在后面可以看到
实际上这个代表了A的行秩
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
