当前课程知识点：线性代数(1) > 第十讲 线性无关、基与维数 > 10.2 n维空间的坐标系 > 10.2 +n维空间的坐标系
我们在讨论
一般向量空间坐标系之前
先考虑我们大家有直观概念的
一个n维实空间的坐标系
我们经常说R平方是二维的
R三是三维的
也就是说二维向量的全体
三维实向量的全体
这个概念呢
我们在中学就知道了
可以建立一个坐标系
我们来看一下
比如说R平方
R平方对应的右边
这么一个坐标系
它是二维的
是因为这个坐标系有两个坐标轴
我们看这个坐标系呢
它的作用是
首先任何一个向量a和b
都可以写成这个坐标系
两个坐标轴上的单位向量
一个是x轴上的单位向量
一个是y轴上的单位向量
都可以写成两个坐标轴上
两个单位向量的线性组合
这是第一点
第二点呢
是两个坐标轴上的单位向量
它们是线性无关的
就是不可能互相表示
那比如说这个意思是什么意思呢
就是实际上是种最经济的坐标系
坐标系取的坐标轴最经济的
比如说第一条性质
任何一个向量可以写成线性组合
那我也可以增加一个向量
比如说我增加一个1 1
就是任何一个向量a和b
它都能写成1 0
0 1和1 1的线性组合
但是明显这三个向量呢
它虽然能表示其他所有向量
但是这三个向量不是最经济的
所以1 1呢我们可以删掉
当然我们也可以删掉0 1
只剩下1 0和1 1都可以
就是说只留下两个就够了
这是最经济的坐标系
我们再来看三维空间的情况
是一样的
三维空间中
它对应的是x y z三个轴
那么任何一个向量呢a b c
它也能写成三个坐标轴上的
这三个单位向量的线性组合
这是第一条
第二条呢
这三个向量本身也是线性无关的
所以跟R2的情况一样
这也是一个最经济的坐标系
就是你可以再增加一些向量
但是呢
那些增加的向量
实际上是可以删掉的
没必要的
那一般的
Rn我们也可以同样地类比
Rn我们是一个n维空间
那么为什么n维呢
因为我们也能建立一个坐标系
只不过这个坐标系呢
当然我们不能直观的画出来了
但是呢
我们可以类比刚才二维和三维
也就是说我们可以找到
n个无关的向量
它把其他所有的向量
都可以表示出来
Rn呢我们知道
它中的任何一个向量
都是这个样子的
a1到an ai是属于实数的
这些向量呢
最后都能写成
这n个向量的线性组合
而且呢这n个向量
又是线性无关的
也就是说你取的是尽量少的向量
去表达所有的向量
所以这种呢
我们把它称为n维空间
就是因为我们建立的一个坐标系
只用了n个无关的向量
当然我们最后注记一下
我们刚才这样写的时候呢
我们都化成直角的形式
是这样的
我们也可以取不是直角的
比如说R2中
我们也可以用非直角坐标系
就是我给你一个非直角坐标系
那么我随便给你一个向量
这个向量呢
我当然可以把它分解到
两个坐标轴上
就是关于这点作两个平行线
一个是平行于这个轴
一个平行于横的这个轴
那么交的这个点呢
这两个点
比如说这个a 这个是b
那么这个a和b呢
我可以把它理解为这个点
就是P这个点
在这个坐标系上的坐标
那么如果我们确切说出来呢
这个向量比如叫α
那么这两个上面的单位向量
我也叫e1和e2
那实际上α呢
按照向量的加法a1+be2
我把这两个打上一个箭头
表示向量
那么现在这个例子呢
我们取的这个坐标轴呢
一个是横轴
还有一个呢
第二个轴是这个轴
上面的单位向量呢
上面的夹角是45度角
那么这时候我们随便取的一个α
的这个向量呢 2 1
这个2 1这个坐标
注意2 1这个坐标呢
这个2 1是这个点的坐标
这个坐标是关于原来那个x0y
这个坐标系的坐标
那在新的这个坐标系中
它的坐标就不是这个了
那么怎么来写出
它的新坐标系的坐标呢
那么我们写出新坐标系中的
两个单位向量e1 e2
好 那么我们看出
最后这个alpha
用新坐标系的两个单位向量描述
是这样子的
那么它前面这个系数呢
1和根号2
就是它在新坐标系中的坐标
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
