当前课程知识点：线性代数(1) > 第十六讲 行列式的基本性质 > 16.3 一般行列式的定义 > 16.3 一般行列式的定义
现在我们来定义一般的行列式
设A是一个n阶方阵
那么A的行列式呢
我们说它要满足下面的性质
首先如果A是单位矩阵
那么它的行列式等于1
如果我们把A的某一列
乘上一个倍数
那么得到的新的矩阵
它的行列式就等于
原来矩阵的行列式的k倍
第三个性质
任意给一个矩阵
如果我们把这个矩阵的某一列
拆分成两个新的向量
那么我们可以得到两个新的矩阵
这两个新的矩阵呢
其他列都跟原来的矩阵是一样的
只有在这一列不一样
那么这个矩阵的行列式呢
就等于两个新的矩阵行列式的和
也就是说
列向量的拆分
导致了行列式的拆分
第四条呢
就是给定一个矩阵
如果
我们交换这个矩阵的任意两列
我们可以得到一个新的矩阵
A撇
那么新的这个矩阵呢
它的行列式
跟原来矩阵的行列式差一个负号
我们可以证明
我们在下面会证明
A的行列式
跟A转置的行列式是一样的
那么由这一条呢
我们知道A的列
就是A转置的行 而A是任意的
所以我们以上讨论这些性质呢
对行都成立的
就是把以上的讨论中的列
都换成行 那么这性质都一样
我们来具体地看个例子
A的行列式
就是A的n个列向量围成的
一个有向面积
例如我们看这个行列式
这个行列式呢
它的三个列向量呢分别是
1 0 0 0 0 1和0 1 0
它们三个呢
能够围成一个平行六面体
这个平行六面体
它的体积呢比较容易算是-1
如果我们不看这个有向的话
它的体积是1
那么这个-号是怎么来的呢
这个-号我们可以看到
这三个向量呢
它们形成的
我们把这个叫α1 这个叫α2 α3
它们分别是
三个坐标轴上的单位向量
那么我们可以看到α1 α2 α3
那么如果我们使用右手法则
就是使用右手从α1向α2握拳
然后大拇指指的方向跟α3相反
所以这就是我们定义有向的
它的是-1
所以我们从这儿也可以受启发
就是如果我们考虑更高维的
一个面积体积的话
那么方向怎么定呢
我们就可以通过行列式的正负号
来确切地定义
一个更高阶的超平面的
或者超平行六面体的
它的体积的方向
根据我们刚才行列式定义的
四条规则呢
我们可以推出下面的一些性质
第一个性质设A的两列成比例
则A的行列式等于0
我们这一块呢
把两列换成两行也行
因为我们过会儿会证明
A的行列式等于A转置的行列式
如果我们证明了这一条的话
那么行和列呢
行有什么性质
列也就有相应的性质
我们设A呢 我们写成列的形式
那么我们随便取两列
不妨取第二列
和第一列是成比例的
假设α2等于k倍的α1
那么由我们定义中的第二个性质
那么A的行列式呢
实际上可以把α2的k倍提出来
这样呢
A的行列式就等于k倍的
新的这个矩阵的行列式
这个新的矩阵呢
它的第一列和第二列是一样的
这样我们由刚才这个性质呢
调换这两列会改变一个负号
但是 大家发现这两列是一样的
调换以后呢这个负号告诉我们
告诉我这个行列式只能取0
因为这两个行列式是完全一样的
而这个推论也可以帮助我们
得到下面这个
就是如果A有0的行或列
则A的行列式就等于0
因为A如果有0列的话
或者0行的话
它是其他行的倍数
就是任何一列跟0列是成比例的
我们看推论二
将A的某一行或者某一列
乘上一个倍数加到另一行或列
那么得到的矩阵A撇呢
那么这个新的矩阵行列式
和旧的是一样的
例如如果A是一个
a b c d这样的二阶行列式
二阶矩阵
那么当我们把第一行
给它乘上一个数加到第二行上
那么从矩阵的乘法我们可以看到
A撇实际上等于E21k乘上A
那么我们可以看到
A撇它的行列式呢
a b c+ka d+kb
它的第二行呢实际上可以写成
两个新的向量的和
那么根据行列式的拆分呢
我们可以把它拆成a b c d
加上一个a b ka kb
那么我们可以看到
这个行列式它两行是成比例的
所以是等于0的
我们可以总结一下
实际上呢
我们在讨论行列式的计算中
我们实际上
是通过A的三种初等行变换
或列变换对A的影响
它们前后的行列式的关系
来计算行列式的
那我们知道
对A呢我们有三种初等的运算
那么下面我们就来看一下
这些初等运算
跟行列式的具体关系
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
