当前课程知识点：线性代数(1) > 第四讲 矩阵的运算 > 4.4 矩阵的乘法的性质 > 4.4 矩阵的乘法的性质
好 从刚才的定义里头
我们可以看得出矩阵乘法的性质
我们设A是一个m乘n的矩阵
那么B C呢
它的行数和列数要使得下面的
各式的运算有定义
那我们就会有
矩阵的乘法要满足结合律
这是我们在上节课里头
想要证明的事情
矩阵的乘法和加法呢
要满足左分配律
同时满足右分配律
它的数乘要满足结合律
那单位矩阵去跟A相乘的话
左乘和右乘要保持A不变
左边我们乘以m阶的单位阵
这是因为我们的A矩阵
是一个m乘n的矩阵
它的单位阵的列数要跟A的行数
要相等
那右边呢你只能去乘
一个n阶的单位阵
好
我们其实2345是很容易看到的
我们来看一下乘法结合律的证明
我们把B矩阵的列记成
b1 b2到bp
C这个矩阵的列记成c1 c2 cq
我们来看
我们的A是m乘以n的矩阵
然后B呢
我们设它是n乘以p的矩阵
那C呢必须是p行
我们设它是有q列
因此我们可以做下面的设法
好 左手边的BC先相乘
再跟A相乘
我们根据定义BC相乘的话
是等于B去分别跟
C的列向量去相乘
那么每一个Bc1 Bcq
它变成列向量
A再去跟这个列向量
构成的矩阵去相乘呢
就等于A去乘以
相应的这些个列向量
而AB先相乘再去乘以C呢
就等于AB整个这是一个矩阵
去和C的列向量相乘
那么如果我们要证乘法的结合律
我们只需要每一项对应相等
也就是说我们只需要来证
B先跟ck相乘
这个ck是C的第k列
然后再被A去相乘
等于AB合在一起先相乘之后
再跟ck相乘
我们只要证这件事情就好
我们来记ck的分量
是c1k到cpk
因为c这个矩阵它是一个p行
q列的矩阵
这是ck是C的第k列
我们来看左手边
那么Bck呢它是等于B的列向量的
线性组合
组合系数是ck的分量
所以这个Bck是等于c1kb1
一直加到cpkbp
那么再去乘以A
我们知道这个时候
括号里面是一些列向量的和
而这个矩阵去乘一个
列向量的和的话
它是满足线性性的
所以c1k可以拉出来
Ab1一直加到cpk Abp
这是利用线性性
那么这件事情呢我们来看一下
这个式子可以看成是
向量Ab1 Apb的线性组合
组合系数是c1k cpk
因此它可以写成
由Ab1 Abp作为列向量
所构成这个矩阵
和ck这个向量的乘积
那么Ab1 Abp呢
又可以看成是AB两个矩阵相乘
那再最后乘以ck
这样我们就证明了这个式子
从而最后证明乘法结合律
我们矩阵可以看成是数的推广
那么我们说数的乘法呢
实数的乘法是有交换律的
但是值得注意的一点是
矩阵的乘法是没有交换律
我们来看如果矩阵A呢
是一个m乘n的矩阵
B呢是一个n乘p的矩阵
A的列数和B的行数相同
所以我们AB可以做乘法
但是B和A未必可以做乘法
因为B是一个n乘以p的矩阵
A是一个m乘以n的矩阵
那么p和m未必相等
所以B和A未必可以做乘法
但是即使A和B
B和A都可以做乘法的时候
也不见得会有AB和BA相等
A是这样的一个2乘2的矩阵
1 2 3 4
B呢是一个2乘2的矩阵
1 3 2 4
那么A和B可以相乘
B和A也可以相乘
我们来通过简单的计算发现
这是我们的AB的结果
这是BA的结果
我们发现AB和BA是不相等的
那再来看不是方阵的情况
A是一个1乘3的矩阵
就是一个行向量a1 a2 a3
B呢是b1 b2 b3
是一个三行一列的矩阵
是一个列向量
所以从这里头我们可以看得出来
我们向量总是可以看成
矩阵的这种特殊情况
那好 A和B是可以相乘的
因为这是一行三列
这是三行一列
我们就得到一个
一行一列的一个数
那等于a1b1加a2b2加a3b3
B和A也是可以相乘的
这个是三行一列
一行三列
因此得到一个三行三列的矩阵
那么发现这个显然这个是
AB和BA是不相等的
如果AB等于BA的话
我们称A和B可以交换
那么从上面的例子可以看得出来
矩阵的乘法一般是不可交换的
这是矩阵与普通实数的
重要的区别
那矩阵的乘法呢
它还不满足消去律
也就是说我如果AB等于AC
在一般情况下
B等于C是不成立的
我们再来看简单的例子
A是这样的一个2乘2的矩阵
3 2 6 4
B是8 9 5 6
C是6 7 8 9
通过简单的计算你发现
AB等于AC 但是
很明显的B和C是不相等的
所以消去律是不成立的
特别地
如果AB相乘是0矩阵
一般情况下你得不到A等于0矩阵
或者是B等于0矩阵
我们再来看这个简单的例子
A还是3 2 6 4
这样一个2乘2的矩阵
B呢是-12 12 3 -18
这个矩阵可以通过简单的计算
我们知道AB是等于0的
0矩阵 但是A不是0矩阵
B也不是0矩阵
这个反映出矩阵和实数的区别
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
