当前课程知识点：线性代数(1) > 第十三讲 正交投影 > 13.2 点在直线和平面上的投影 > 13.2 点在直线和平面上的投影
好 现在我们来讨论一下
点在空间上的投影
我们先看简单的情形
就是点在直线和平面上的投影
我们假设有两个向量b和a
我们来求一下b在a上的投影
那么我们这里面
假设这个a这个向量不等于0
如果是0的话
零向量和任何向量都是垂直的
我们来求一下b在a上的投影
那么为了求出
这个投影的这个向量呢 p
我们来看一下
它满足两个关键的等式
第一个等式呢
就是p+e等于b
然后e和a是垂直的
第二个等式呢
p是在a所在的直线上
所以p跟a是平行的
等t倍的a
那么有了这两个等式以后
我们就可以得到
a转置b-ta是等于0的
也就是说 我们把这个等式
代入到上面这个等式中
由此我们就可以确切地算出t
也就是说p
到底是等于多少倍的a
那么这个t
这个数是这样一个结果
那么这时候
我们因为要求a不等于0
所以分母不等于0是合理的
这样我们实际上算出了
p在a上的投影向量
就是a转置b除以a转置a
然后再乘上a等于p
那么一般地呢 我们可以看到
这是a所在的向量
那么换一个b
比如说这个b投影点是p
这个b投影点是p撇
就是使用不同的空间中的b呢
我们就得到了不同的p
那么实际上我们得到一个映射
这个映射呢
是从R平方到a所在的直线
我们比如说把这个映射叫f
就是给一个b
我们找出它在
b在a所在直线上的投影
这个向量我们叫p 叫f(b)
在这个例子中呢
我们看这个p就等于这个
那为了把这个映射
我们写得更清楚一点呢
我们现在把这个表达式呢
我们要稍微改写一下
那么我们a转置b乘a
那么因为a转置b是个数
我们可以把它跟这个a交换一下
写成这种形式
然后我们把它合并 用结合律
大家注意这时候这个a乘a转置
实际上a是一个列向量的形式
a转置是个行向量的形式
所以它们乘完以后
实际上是个矩阵
是个2乘2的矩阵
好 这种改写以后
我们就可以p重新再写出来
就是这样a乘a转置
除以a转置a然后乘上b
那么我们可以注意
a乘a转置是一个2乘2的矩阵
而a转置a是一个数
所以呢
这个号码里面
实际上是一个2乘2的矩阵
我们把这个矩阵叫投影矩阵
那么刚才我们说的映射呢
用这样一个改写以后呢
我们就可以写得更清楚了
就是任意一个b属于R平方
那么S乘b呢
实际上就是b在a上的投影向量
如果l是a所在的直线
我们实际上就得到一个映射
把b映到Sb
相当于把这个向量
左乘以一个2乘2的矩阵
我们来看一个例子
如果a是1 0
就是x轴对应的单位向量
那么x呢就是a乘a转置
除以a转置a就是这样一个矩阵
那么这样一个矩阵呢
它把任何一个向量
b1 b2属于R平方呢
左乘以S以后
就得到了这样一个
那么这个从直观上我们看
它确实是b
在这个x轴上的投影向量
这正好是一个b1 0
所以
这跟我们的直观的概念是一样的
好 我们再来看一下
a和b是在三维空间中的情形
如果在三维空间里面
我们取b是1 1 1
a是1 2 2
那么我们想看一下
b在a所在直线上的投影
那么这里面还是两个关键的
一个呢
是投影p在a所在的直线上
所以p等于t倍的a
另一方面呢
b和p之间的误差向量
这个叫b 这个是p
那么这个向量呢 我们叫e
实际上它是一个误差向量
如果e等于0的话
b就直接落在CA上
这个方程组有解
而且解是确定的 没有误差的
那么这个向量e
它是跟p是垂直的
它实际上跟p所在的那个空间
是垂直的
那么在这里面的空间呢
就是我们的直线
所以跟p就垂直了
那么这个垂直呢
我们就可以得到下面这个等式
就是p的转置乘上b-p等于0
这个就是b-p
那么由这样我们就推出来
t等于5/9
那么这时候呢
我们就把S写出来
a乘a转置
那么a我们知道是1 2 2
A转置是横着写的
所以这两个a乘a转置呢
是一个3乘3的矩阵
我们同样得到了这样一个映射
把b映到了Sb
那么我们可以看到
直观上来看
把任何一个向量
映到直线上的投影
如果这个向量本身就在直线上
那么我们可以看到
这种投影就是恒等映射
如果这个向量不在这个直线上
那么这个投影是不平凡的
所以这就是我们说的
S平方等于S
那么一般来说呢
我们找的这个投影矩阵呢
它也是个对称阵
S转置等于S
下面我们来考虑一下
点在平面上的投影问题
给一个点或者向量
v1 v2 v3
再给一个平面ax+by+cz等于0
我们想求一下
v在这个平面上pi上的投影
那么跟刚才一样
我们要求这个投影呢
我们首先要把平面呢
把它想成一个列空间
也就是说我们在这个平面上
随便找两个无关的向量α1 α2
那么这两个向量呢
你也可以理解成ax+by+cz等于0
这个方程的基础解系
那么我们用这两个向量呢
作为列向量可以得到一个矩阵A
那么平面pi就是这个A的列空间
因为这个平面是二维的
而α1 α2呢
它们的任何线性组合
最后得到也是二维的
因为它们是无关的
好 要求投影p呢
就是当且仅当
求v关于这样一个分解
这个分解中的vl就是p
vln就是我们的e
因为整个空间呢
是可以写成CA+NA转置的
而在这个平面上
就是在CA上的投影
所以就是跟我们前面
求CA转置上的投影非常类似
为了求出这个vl或者p
那么我们也是用刚才的两点
一点是p在这个平面上
这是个已知条件
另一点是v-p
或者这个e这个误差向量
是跟这个平面垂直的
那么由p呢属于平面
我们知道
可以找到一个x hat
使得A乘上x hat等于p
这是CA的定义
另一方面
v-p这个误差向量呢
是跟pi垂直的
那么我们就得到了A转置
乘上Ax hat-v等于0
这个呢就是v-p的负的
这个呢A转置呢乘它呢
就代表它跟A的每一列是垂直的
那么由这两个呢
我们就基本上能算出p
我们对照这两个呢
我们可以看到
实际上第二个等式
是A转置Ax hat等于A转置v
所以我们要想求出x hat呢
我们实际上要解这个方程组
但是我们这块这个A呢
我们取的是
两个无关向量作为列向量
实际上A是个列满秩的
因为A是列满秩的
所以A转置A是可逆矩阵
这个证明方法呢
跟我们前面说的
CA转置A等于CA转置是一样的
A转置A是个可逆矩阵
好 那么这个可逆矩阵
所以我们可以把这个移到右边
就写成了x hat
t就是Ax hat
从而我们得到了投影向量的坐标
那也就是说
我们随便给一个
R3中的一个向量v
我们就得到了
它到这个平面上的投影
把这个v呢
我们就映到了这个p
这个p实际上等于
A乘A转置A的逆
然后再乘A转置A
所以呢
我们把前面这个叫投影矩阵
这个投影矩阵
我们可以验证一下
它也满足
我们比如说把这个投影矩阵
叫S的话
它也满足S平方等于S
S转置等于S
好 我们通过一个例子
来说明一下
A是1 1
0 1 2这样一个矩阵
b是6 0 0
那么我们来求x hat
使得p等于Ax hat
作为b在CA上的投影向量
那么为了解这个呢
我们知道
我们实际上是要解这个方程
A转置Ax hat等于A转置b
那么A转置A呢
A本身是个列满秩的矩阵
我们看A是一个列满秩的
那么A转置A呢是一个可逆矩阵
2乘2的可逆阵
A转置b等于6 0
这样我们就可以
最终的把x hat算出来
结果是5 -3
然后呢在左边乘个A呢
我们就得到了投影点p
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
