当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十讲 矩阵的对角化 > 20.2 特征值的代数重数和几何重数 > default
我们看到n阶的矩阵
如果有n个互异特征值的话
就一定可以对角化
而具有重特征值的矩阵呢
有些能够对角化 有些则不能
主要是看矩阵有没有足够多
线性无关的特征向量
从而它可以作为列向量
构成可逆矩阵 使矩阵对角化
那么这一点呢
不仅由矩阵的特征值
所谓的代数重数决定
还由它
下先我们要引入的几何重数有关
我们来看一个矩阵A
A减掉lambdaI的行列式
那可以写成lambda1-lambdaI的n1次幂
lambdak减掉lambdaI的nk次幂
这里的lambda1和lambdak
是互不相同的特征值
那么我就称这个ni
是特征值lambdai的代数重数
把它记成是AM
lambdai等于ni
这个是取的代数重数的
前面两个字母
那我们相应地把A-lambdai I
的这个矩阵的0空间的维数
也就是当你去求解
特征向量的时候
你要去求解（A-lambdai I）x等于0
找0的空间的维数
我们叫做特征值lambdai的几何重数
记成是GM lambda i
我们看看例子
A等于0 1 0 0这个矩阵
我们知道它的特征值是等于0
很容易从A-lambdaI这个里头看到
它是lambda平方
这个代数重数是等于2
几何重数呢 几何重数怎么来看
因为Ax等于0
很容易看到
x一定是1 0的一个倍数
那么它的0空间的维数是等于1的
几何重数是等于1
几何重数来的比代数重数
要来得小
我们再看单位阵这个例子
它也是有重根
这个重特征根是等于1
那它的几何重数是2
代数重数也是2
再看A等于6 -1 1 4这个矩阵
它的特征多项式
A-lambdaI的行列式是lambda-5的平方
所以它有重特征根
lambda1等于lambda2等于5
它的代数重数是等于2
那么看一下A-5I这个矩阵
经过初等行变换很容易看到
它的零空间是1 1
倍数c是一个任意一个常数
那么它的几何重数是等于1的
几何重数等于1
代数重数等于2
那一般的我们可以知道说
一个特征值它的几何重数
要小于等于它的代数重数
这个命题的证明呢
我们暂时可以不看
那下面我给出来
大家可以完了以后翻回头来
再来讨论
它需要有两个引理
第一个引理呢是相似矩阵
一定具有相同的特征多项式
事实上这个很简单
我们假设P是一个可逆阵
A-lambdaI的行列式
也就是A的特征多项式
我们把这个A给换成P
我们说我乘以P逆和P之后
行列式是保持不变的
因为乘积的行列式
等于行列式的乘积
那逆矩阵的行列式是等于
原来行列式的倒数
所以这两个可以消掉
那么还等于左手边
好 那我们把P逆和P给乘进去呢
那就等于P逆AP-lambdaI的行列式
那我们发现说 我A的行列式
特征多项式和P逆AP的
这个特征多项式是相等的
相似矩阵具有相同的特征多项式
第二个引理
我们说任意的复方阵
它一定相似于上三角阵
并且对角元是矩阵的特征值
这件事情可以利用方阵的阶数
用数学归纳法来讨论
n等于1的时候
这个结论显然是成立的
假设对于n-1阶的复方阵
这个结论也成立
我们下面来看一下
对于任意的n阶的复方阵A
假设它有一个特征值lambda1
有一个相应的特征向量x1
也就是说Ax1等于lambda1x1
好 这是一个非0的向量
我们总可以把它给扩充成
Cn的一组基 x1到xn
我们把这一组基作为列向量
拿过来作成一个矩阵
左手边乘以A
那它一定可以表示成
这种基的线性组合
也就是说它一定可以写成
x1到xn构成的这个矩阵
去乘以右手边的这个矩阵
这个矩阵呢
在第一列里头有特点
它只有在1 1位置上是lambda1
其他的元素是等于0
这是因为Ax1是等于lambda1x1的
好 我们把第一行的其他元素
我们记成星
在这个n-1的右下角的位置
我们记成A1
我们把x1到xn作为列向量
构成的矩阵叫做是P1
它一定是一个可逆的矩阵
因为x1到xn是Cn的一组基
好 那因为是可逆矩阵
所以上面这件事情
本来写成AP等于P乘以这个矩阵
就可以得到P1的逆矩阵
去乘以AP1
等于刚才的这个上三角块矩阵
而对于对于右下角的这个
n-1阶的矩阵A1
我们可以用归纳假设
我们说它一定存在着可逆矩阵Q
使得Q逆A1Q
等于上三角阵T1的
这样我们
把对角块阵1 Q这个矩阵
这个n阶的矩阵记成是P 2
把P1和P2乘起来
叫做是矩阵P
于是我们就得到P1的逆矩阵
去乘以AP
把定义代进来等于P2逆
乘以p1逆乘以A乘以P1P2
那么P1逆AP1呢
是等于这个对角上三角块矩阵
那么再去乘以
左手边乘以P2的逆矩阵
右手边乘以P2
那这个位置
1 1位置还是lambda1
在这个右下角的位置变成是T1
我们把这个上三角矩阵
这现在是上三角矩阵
就叫做T矩阵 它是上三角阵
那结论的第一部分就证明了
也就是说如何的复方阵
它根据归纳假设
它一定相似于上三角阵
由刚才的这个
上面的引理 我们说
A-lambdaI的行列式等于
跟它相似的这个矩阵
上三角阵T-lambdaI的行列式
而T是一个上三角阵
我们知道这个矩阵呢
它的行列式是等于t11-lambda
乘以tnn-lambda 因此呢
上三角阵T的对角元t11 tnn
是A的特征值
这样我们就证明了复方阵
相似于上三角阵
这个上三角阵的对角元
是矩阵A的特征值
那有了这样两个引理之后
我们就可以去证明
我们刚才说的命题
给你一个特征值之后呢
它的几何重数
要小于等于代数重数
现在就很简单
A相似于上三角阵T
所以A和T有相同的特征值
而对于任何一个特征值lambdaI
这个lambdaI的
关于在A里头的几何重数
就等于lambdaI对T的这个几何重数
这个东西是等于T-lambdaII的
零空间的维数
这个T是P逆AP 这个可逆的
所以它等于A-lambdaII
这个就是所谓A里头的几何重数
所以因此我们不妨设
A是一个上三角矩阵
那么A-lambdaI的秩
要大于等于n-lambdaI的代数重数
而lambdaI这个特征值的几何重数
是根据定义它是
A-lambdaI这个矩阵的零空间的维数
那么它等于n-A-lambdaI的秩
根据上面的关系式
它小于等于lambdaI的代数重数
这样的话 一个复的矩阵
它可以对角化就等价于
对于它的任何一个特征值
不管它是不是重特征值
我们要求它的几何重数
等于它的代数重数
这是因为我们不同特征值的
对于不同的特征值
它的代数重数的和
一定是等于n的
因为特征多项式一共就是n次的
好 它一共记重数的话
它应该有n个特征根
那么
互不相同的特征值的个数是k
这个代数重数的和是等于n
如果对于每一个特征值
它的几何重数
都等于代数重数的话
我们就得到
所有特征值的几何重数的和
是等于n的
这样的话我们就得到
A应该是有
n个线性无关的特征向量
从而A是可以对角化的
让我们又得到了一个
复方阵可以对角化的充要条件
看一个简单的例子
我们判断下面这个矩阵
3乘3的矩阵A
是否可以对角化
如果可以的话 求出矩阵S
使得S逆AS是对角阵
那么
先去求这个矩阵的特征多项式
A-lambdaI的行列式经过简单的计算
等于-lambda-1的平方乘以lambda-3
因此呢
A的特征值是lambda1等于lambda2等于1
有一个重特征根lambda3等于3
好的 lambda1等于1的时候
我们看一下A-lambda1I这个矩阵
变成这个样子
容易看到
这个矩阵的秩是等于1的
这个矩阵的秩是等于1的
因此A-lambda1I的零空间的维数
是等于2
那么这个特征值lambda1
它的几何重数就等于2
代数重数也等于2 好
那对于lambda3这个特征值
它的代数重数是等于1
几何重数呢至少是等于1
然后几何重数
又小于等于代数重数
所以立马我们可以判断
说lambda3的几何重数
等于它的代数重数等于1
这样对A这个矩阵的
两个不同的特征值1和3
它们的几何重数
都分别等于代数重数
所以这个矩阵
A是一定可以对角化的
那么可以对角化
也就是说我们可以找到
三个线性无关的特征向量
我们来求一下
对于lambda1等于lambda2等于1的情形
A-I是这样的一个矩阵
我们去求以它为系数矩阵的
齐次线性方程组的非0解
那可以看到这个系数矩阵
它的秩是等于1
所以它的基础解系
里头一定含有
两个线性无关的特征向量
我们可以求出来x1等于2 1 0
x2等于-1 0 1
因此x1 x2是属于
重特征值1的两个线性无关的
特征向量
那当lambda3等于3的时候
A-3I得到这个矩阵
这个矩阵的秩是等于2的
我们做一下初等行变换
我们从初等行变换的这种
约化阶梯标准形里头
我们可以看出来
A-3Ix等于0
这个齐次线性方程组的
基础解系为0 1 1
那么这个x3
它是属于lambda3等于3的特征向量
那属于不同特征值
1和3的特征向量
又是线性无关的
我们把x1x2x3拿过来
本来x1x2线性无关
合在一起x1x2和x3
分别属于特征值1和3
它们又线性无关
那么以它们为列向量
构成的矩阵S应该是可逆矩阵
那么S逆AS等于对角阵lambda
对角线上的元素是特征值
1 1 3
我们在计算的过程中我们发现
使A对角化的这个矩阵
不是唯一的
一个特征向量
去乘以一个非0常数之后
它仍然是属于
同一个特征值的特征向量
所以呢如果是用任意的非零常数去乘以S的各个列的话
就得到一个新的
使A对角化的矩阵
而对于有重特征值的那个情况
它会有更大的自由度
比如刚才由x1 x2
它的任何线性组合
得到的两个线性无关的特征向量
都可以充当S的前两列
我们再来看下面一个简单的例子
这是一个上三角矩阵
其中这个B矩阵
是r乘以n-r阶的一个矩阵
我们说这个矩阵
它一定有r重特征值1
有n-r重特征值-1对角元
这个是显而易见的
然后我们看它相应的
这个A-lambda1I矩阵
那么变成这样的一个矩阵
然后它的秩是n-2的 因此呢
属于这个lambda1等于1的
这个几何重数呢是2
代数重数我们知道是2
几何重数和代数重数是相等的
那么对于A-1
也就是后面这个特征值
所对应的这个矩阵
它的秩是等于2的
那么这个特征值
它的几何重数是n-2
代数重数也是n-2 也相等
它有两个相异的特征值1和-1
它们分别的都满足几何重数
等于代数重数
因此这个矩阵A可以对角化
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
