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我们看到n阶的矩阵

如果有n个互异特征值的话

就一定可以对角化

而具有重特征值的矩阵呢

有些能够对角化 有些则不能

主要是看矩阵有没有足够多

线性无关的特征向量

从而它可以作为列向量

构成可逆矩阵 使矩阵对角化

那么这一点呢

不仅由矩阵的特征值

所谓的代数重数决定

还由它

下先我们要引入的几何重数有关

我们来看一个矩阵A

A减掉lambdaI的行列式

那可以写成lambda1-lambdaI的n1次幂

lambdak减掉lambdaI的nk次幂

这里的lambda1和lambdak

是互不相同的特征值

那么我就称这个ni

是特征值lambdai的代数重数

把它记成是AM

lambdai等于ni

这个是取的代数重数的

前面两个字母

那我们相应地把A-lambdai I

的这个矩阵的0空间的维数

也就是当你去求解

特征向量的时候

你要去求解（A-lambdai I）x等于0

找0的空间的维数

我们叫做特征值lambdai的几何重数

记成是GM lambda i

我们看看例子

A等于0 1 0 0这个矩阵

我们知道它的特征值是等于0

很容易从A-lambdaI这个里头看到

它是lambda平方

这个代数重数是等于2

几何重数呢 几何重数怎么来看

因为Ax等于0

很容易看到

x一定是1 0的一个倍数

那么它的0空间的维数是等于1的

几何重数是等于1

几何重数来的比代数重数

要来得小

我们再看单位阵这个例子

它也是有重根

这个重特征根是等于1

那它的几何重数是2

代数重数也是2

再看A等于6 -1 1 4这个矩阵

它的特征多项式

A-lambdaI的行列式是lambda-5的平方

所以它有重特征根

lambda1等于lambda2等于5

它的代数重数是等于2

那么看一下A-5I这个矩阵

经过初等行变换很容易看到

它的零空间是1 1

倍数c是一个任意一个常数

那么它的几何重数是等于1的

几何重数等于1

代数重数等于2

那一般的我们可以知道说

一个特征值它的几何重数

要小于等于它的代数重数

这个命题的证明呢

我们暂时可以不看

那下面我给出来

大家可以完了以后翻回头来

再来讨论

它需要有两个引理

第一个引理呢是相似矩阵

一定具有相同的特征多项式

事实上这个很简单

我们假设P是一个可逆阵

A-lambdaI的行列式

也就是A的特征多项式

我们把这个A给换成P

我们说我乘以P逆和P之后

行列式是保持不变的

因为乘积的行列式

等于行列式的乘积

那逆矩阵的行列式是等于

原来行列式的倒数

所以这两个可以消掉

那么还等于左手边

好 那我们把P逆和P给乘进去呢

那就等于P逆AP-lambdaI的行列式

那我们发现说 我A的行列式

特征多项式和P逆AP的

这个特征多项式是相等的

相似矩阵具有相同的特征多项式

第二个引理

我们说任意的复方阵

它一定相似于上三角阵

并且对角元是矩阵的特征值

这件事情可以利用方阵的阶数

用数学归纳法来讨论

n等于1的时候

这个结论显然是成立的

假设对于n-1阶的复方阵

这个结论也成立

我们下面来看一下

对于任意的n阶的复方阵A

假设它有一个特征值lambda1

有一个相应的特征向量x1

也就是说Ax1等于lambda1x1

好 这是一个非0的向量

我们总可以把它给扩充成

Cn的一组基 x1到xn

我们把这一组基作为列向量

拿过来作成一个矩阵

左手边乘以A

那它一定可以表示成

这种基的线性组合

也就是说它一定可以写成

x1到xn构成的这个矩阵

去乘以右手边的这个矩阵

这个矩阵呢

在第一列里头有特点

它只有在1 1位置上是lambda1

其他的元素是等于0

这是因为Ax1是等于lambda1x1的

好 我们把第一行的其他元素

我们记成星

在这个n-1的右下角的位置

我们记成A1

我们把x1到xn作为列向量

构成的矩阵叫做是P1

它一定是一个可逆的矩阵

因为x1到xn是Cn的一组基

好 那因为是可逆矩阵

所以上面这件事情

本来写成AP等于P乘以这个矩阵

就可以得到P1的逆矩阵

去乘以AP1

等于刚才的这个上三角块矩阵

而对于对于右下角的这个

n-1阶的矩阵A1

我们可以用归纳假设

我们说它一定存在着可逆矩阵Q

使得Q逆A1Q

等于上三角阵T1的

这样我们

把对角块阵1 Q这个矩阵

这个n阶的矩阵记成是P 2

把P1和P2乘起来

叫做是矩阵P

于是我们就得到P1的逆矩阵

去乘以AP

把定义代进来等于P2逆

乘以p1逆乘以A乘以P1P2

那么P1逆AP1呢

是等于这个对角上三角块矩阵

那么再去乘以

左手边乘以P2的逆矩阵

右手边乘以P2

那这个位置

1 1位置还是lambda1

在这个右下角的位置变成是T1

我们把这个上三角矩阵

这现在是上三角矩阵

就叫做T矩阵 它是上三角阵

那结论的第一部分就证明了

也就是说如何的复方阵

它根据归纳假设

它一定相似于上三角阵

由刚才的这个

上面的引理 我们说

A-lambdaI的行列式等于

跟它相似的这个矩阵

上三角阵T-lambdaI的行列式

而T是一个上三角阵

我们知道这个矩阵呢

它的行列式是等于t11-lambda

乘以tnn-lambda 因此呢

上三角阵T的对角元t11 tnn

是A的特征值

这样我们就证明了复方阵

相似于上三角阵

这个上三角阵的对角元

是矩阵A的特征值

那有了这样两个引理之后

我们就可以去证明

我们刚才说的命题

给你一个特征值之后呢

它的几何重数

要小于等于代数重数

现在就很简单

A相似于上三角阵T

所以A和T有相同的特征值

而对于任何一个特征值lambdaI

这个lambdaI的

关于在A里头的几何重数

就等于lambdaI对T的这个几何重数

这个东西是等于T-lambdaII的

零空间的维数

这个T是P逆AP 这个可逆的

所以它等于A-lambdaII

这个就是所谓A里头的几何重数

所以因此我们不妨设

A是一个上三角矩阵

那么A-lambdaI的秩

要大于等于n-lambdaI的代数重数

而lambdaI这个特征值的几何重数

是根据定义它是

A-lambdaI这个矩阵的零空间的维数

那么它等于n-A-lambdaI的秩

根据上面的关系式

它小于等于lambdaI的代数重数

这样的话 一个复的矩阵

它可以对角化就等价于

对于它的任何一个特征值

不管它是不是重特征值

我们要求它的几何重数

等于它的代数重数

这是因为我们不同特征值的

对于不同的特征值

它的代数重数的和

一定是等于n的

因为特征多项式一共就是n次的

好 它一共记重数的话

它应该有n个特征根

那么

互不相同的特征值的个数是k

这个代数重数的和是等于n

如果对于每一个特征值

它的几何重数

都等于代数重数的话

我们就得到

所有特征值的几何重数的和

是等于n的

这样的话我们就得到

A应该是有

n个线性无关的特征向量

从而A是可以对角化的

让我们又得到了一个

复方阵可以对角化的充要条件

看一个简单的例子

我们判断下面这个矩阵

3乘3的矩阵A

是否可以对角化

如果可以的话 求出矩阵S

使得S逆AS是对角阵

那么

先去求这个矩阵的特征多项式

A-lambdaI的行列式经过简单的计算

等于-lambda-1的平方乘以lambda-3

因此呢

A的特征值是lambda1等于lambda2等于1

有一个重特征根lambda3等于3

好的 lambda1等于1的时候

我们看一下A-lambda1I这个矩阵

变成这个样子

容易看到

这个矩阵的秩是等于1的

这个矩阵的秩是等于1的

因此A-lambda1I的零空间的维数

是等于2

那么这个特征值lambda1

它的几何重数就等于2

代数重数也等于2 好

那对于lambda3这个特征值

它的代数重数是等于1

几何重数呢至少是等于1

然后几何重数

又小于等于代数重数

所以立马我们可以判断

说lambda3的几何重数

等于它的代数重数等于1

这样对A这个矩阵的

两个不同的特征值1和3

它们的几何重数

都分别等于代数重数

所以这个矩阵

A是一定可以对角化的

那么可以对角化

也就是说我们可以找到

三个线性无关的特征向量

我们来求一下

对于lambda1等于lambda2等于1的情形

A-I是这样的一个矩阵

我们去求以它为系数矩阵的

齐次线性方程组的非0解

那可以看到这个系数矩阵

它的秩是等于1

所以它的基础解系

里头一定含有

两个线性无关的特征向量

我们可以求出来x1等于2 1 0

x2等于-1 0 1

因此x1 x2是属于

重特征值1的两个线性无关的

特征向量

那当lambda3等于3的时候

A-3I得到这个矩阵

这个矩阵的秩是等于2的

我们做一下初等行变换

我们从初等行变换的这种

约化阶梯标准形里头

我们可以看出来

A-3Ix等于0

这个齐次线性方程组的

基础解系为0 1 1

那么这个x3

它是属于lambda3等于3的特征向量

那属于不同特征值

1和3的特征向量

又是线性无关的

我们把x1x2x3拿过来

本来x1x2线性无关

合在一起x1x2和x3

分别属于特征值1和3

它们又线性无关

那么以它们为列向量

构成的矩阵S应该是可逆矩阵

那么S逆AS等于对角阵lambda

对角线上的元素是特征值

1 1 3

我们在计算的过程中我们发现

使A对角化的这个矩阵

不是唯一的

一个特征向量

去乘以一个非0常数之后

它仍然是属于

同一个特征值的特征向量

所以呢如果是用任意的非零常数去乘以S的各个列的话

就得到一个新的

使A对角化的矩阵

而对于有重特征值的那个情况

它会有更大的自由度

比如刚才由x1 x2

它的任何线性组合

得到的两个线性无关的特征向量

都可以充当S的前两列

我们再来看下面一个简单的例子

这是一个上三角矩阵

其中这个B矩阵

是r乘以n-r阶的一个矩阵

我们说这个矩阵

它一定有r重特征值1

有n-r重特征值-1对角元

这个是显而易见的

然后我们看它相应的

这个A-lambda1I矩阵

那么变成这样的一个矩阵

然后它的秩是n-2的 因此呢

属于这个lambda1等于1的

这个几何重数呢是2

代数重数我们知道是2

几何重数和代数重数是相等的

那么对于A-1

也就是后面这个特征值

所对应的这个矩阵

它的秩是等于2的

那么这个特征值

它的几何重数是n-2

代数重数也是n-2 也相等

它有两个相异的特征值1和-1

它们分别的都满足几何重数

等于代数重数

因此这个矩阵A可以对角化