当前课程知识点：线性代数(1) > 第四讲 矩阵的运算 > 4.1 矩阵 > 4.1 矩阵
为了简单的描述线性方程组
我们引入了矩阵的概念
为了简单的描述
求解线性方程组的高斯消元法
我们初步的引入了矩阵的乘法
在这节课里
我们将进一步讨论矩阵的运算
矩阵 matrix这个词
是由英国数学家Sylvester
于1850年首先提出来的
Sylvester用matrix这个词
来指行列式的子式
那在逻辑上矩阵的概念
要先于行列式的概念
而在历史上的发展却恰恰相反
在矩阵引进的时候
它的基本性质就已经清楚了
英国数学家Cayley
首先把矩阵作为独立的数学对象来研究
并就此发表了一系列文章
他被公认为是矩阵论的创立者
矩阵是一张长方形的数表
一个m行n列的矩阵
称为是m乘n的矩阵
那么我们注意到一点
行我们去对应英文的单词row
列对应着英文单词Column
这个和台湾地区的翻译恰好相反
大家在看中文书的时候
可以注意到这一点
那么矩阵A的第i行和第j列的元素
用a_ij来表示
称为是A的(i, j)元素
我们从图上来看
这是矩阵A的第i行
我们有时候把它称为是
矩阵A的第i行向量
这是矩阵A的第j列
我们有时候就称为是
矩阵A的第j列向量
矩阵A里头的这些元素a_ij
是长在某一个数域里头
我们在这里头通常是研究
长在实数域里头
也就是a_ij是实数
如果我们把矩阵A的列向量
分别记成是a1 aj an的话
那么我们之前已经把矩阵
用列向量来表示成这种样子
矩阵把一组相互独立的数
用一张数表的形式联系在一起
作为一个整体来参与运算
从而使原来庞大
并且杂乱无章的数据
变得简单有序
这是引入矩阵的好处
我们说两个矩阵相等
是指的它们有相同的行数和列数
并且对应的元素相等
元素全是0的m乘n的矩阵
我们称为是0矩阵
就用0来表示
0矩阵的行数和列数
一般由上下文确定
那么到目前为止
我们遇到了数0
0向量和0矩阵
这些可以从上下文来看出来
这个0到底指的是什么
矩阵的这个行数和列数
相等的时候是一个方阵
方阵它的对角元是a_11 a_22到a_nn
这个构成A的主对角线
对角矩阵是一个方阵
它的非对角元都是0
这是一个对角阵
那有一个特殊的对角阵
如果主对角线上的元素
都是1的话
这样的对角矩阵称为是单位矩阵
我们之前已经遇到过了记成是I
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
