当前课程知识点：线性代数(1) > 第一讲 向量及其运算 > 1.7 向量的夹角 > 1.7 向量的夹角
那么如果两个向量V和W
它点积等于0的话
我们就称向量V和W是垂直的
或者是正交的
我们记成V垂直于W
或者是W垂直于V
0向量和任意向量是垂直
我们可以证明说
这样定义的垂直的概念
与几何直观是一致的
也就是说V和W垂直
当且仅当V和W点积等于0
也就是说我上面的定义是合理的
怎么来看这件事情呢
V和W正交的情形
垂直的情形我们来看V和W
都分别是非0向量的情况
那么这种情况下
我向量V 向量W
以及向量V-W
可以构成一个
直角三角形的三条边
那么根据勾股定理呢
这个斜边V-W的长度平方
等于两条直角边
V的长度平方加上W的长度平方
我们按左手边
这个V-W这个向量的长度平方
也就是V-W和自身做内积
然后去展开来发现
它等于V的长度平方
加上W的长度平方
再减掉V点乘上W
减掉W和V去做点积
因为我们点积具有对称性
所以这两项是等于负的V
负的2倍的V点积W的
那么这个式子去
跟上面勾股定理右手边去做比较
我们就知道V点积W是等于0的
那么反过来也是这样
所以说两个向量去
几何直观上它们正交
和这两个向量做点积等于0
是等价的
因此我们就把
这两个向量点积等于0
来作为向量正交的定义
我们再来看
有两个向量非0的话
它的夹角我们可以说满足cosθ
等于V和W做点积
去除以V的长度乘以W的长度
那么这又是怎么来看的呢
一般而言我们说
你的向量V 向量W
向量V-W构成
一个三角形的三条边
那我们可以去用余弦定理
我们说V-W的模长平方
等于V的模长平方
加上W的模长平方
再减掉2倍的V的长度
乘以W的长度
乘以cosθ
那于是cosθ就等于V的模长方
加W的模长方
再减掉V-W模长平方
除以2倍的V的模长
乘以W的模长
根据我们刚才把上式的这个分解
我们知道
它是等于2倍的V和W做点积的
那这个2消掉
就等于V和W做点积
除以V的长度与W长度的乘积
那我们给出两个向量
夹角与这个点积
与长度之间的关系
那么注意到这个式子里头
我们可以看出来
如果V和W的点积是大于0的
左手边cosθ就应该是大于0的
我们可以取这个？
是从0到2分之π之间
如果V和W的点积是小于0呢
那cosθ是小于0
我们θ是在2分之π到π之间
给一个简单的例子
V是向量1 1
W是向量-1 0
那么cosθ等于也就是两个向量
夹角余弦等于V和W做点积
除以V的模长乘以W的模长
等于负的根2分之一
那么V和W夹角就是3/4 π
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
