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接下来我们来看一些求解

方阵的特征值 特征向量的例子

第一个例子A是1 2 2 4

这样的一个矩阵

我们很容易看到

这个矩阵的第一行

和第二行是成比例的

所以它是一个不可逆的矩阵

那么因此呢Ax等于0

这个齐次线性方程组

它是有非0解的

容易看到A2 -1等于0

有这样的非0解

那么因此呢

lambda等于0是A的一个特征值

也就是说一般的情况下

一个矩阵如果不可逆的话

它是一定会有0特征值的

这是一个充要条件

我们来看第二个例题

A是这样的一个

三乘三的一个矩阵

我们求它的特征值和特征向量

那我们看到这个矩阵以后

我们发现这个矩阵的每行的元素

和是0 所以它也是不可逆的

由刚才的讨论我们知道

A一定有一个特征值是等于0的

我们叫lambda1等于0

那又注意到呢

A实际上是一个实对阵矩阵

这是对称的 -1 1 1 1

那么我们下面来看看

如何来求A的特征值和特征向量

我们根据我们第一步呢要求

特征多项式A-lambda I的行列式

那么是这样的一个矩阵的行列式

容易计算出来

它是等于lambda乘以1-lambda

乘以lambda-3

所以A的全部特征值

lambda1是等于0的

对应着我们刚才的分析说

这是一个不可逆的矩阵

它一定有一个0特征值

那lambda2等于1 lambda3等于3

我们看lambda1等于0的时候

这时候矩阵A-lambdaI就是A自己

我可以对它做初等行变换

第一行加到第二行来

等于0 1 -1

那么这样我们第三行

和新的第二行相加等于

出现了一个0行

那么再把第二行加到第一行去

从而使得变成一个阶梯型的矩阵

那么我们可以看到Ax等于0

它有一个基础解系是

x1等于1 1 1

因此呢原来的矩阵A

属于lambda1等于0的全部特征向量

就是这个x1的一个k倍

这个k1呢是一个非0的实数

同样的对于lambda2等于1

这时候（A-lambda2 I）就变成是A-I

是这样的一个矩阵

那对它来做初等行变换

第三行加到第二行去

然后再乘以一个-1

就得到这样的一个矩阵

0 1 0 1 0 1 0 0 0

那很容易看到（A-I）x等于0

这个齐次线性方程组

它有一个基础解系x2是1 0 -1因此呢

属于lambda2等于1的全部特征向量

是这样的一个x2的非0倍数

再来看相应于lambda3等于3的情形

A-lambda3I

就是A-3I 是这样的一个矩阵

我们对它来做初等行变换

第一行减掉第二行

然后第二行再减掉第三行

变成这样的一个矩阵

那么再接着来做初等行变换

我们用第二行减掉第一行

再把二三行交换一下次序

第一行再去乘以一个-1倍

我们得到这个阶梯型的矩阵

从这个阶梯型的

约化阶梯型矩阵里头

我们很容易看到（A-3I）X等于0

这个齐次线性方程组的

一个基础解系是1 -2 1

我们叫它是x3

这样的话

对于A的属于lambda3等于3的

全部特征向量

就是这个x3的一个非0倍数

好 这样我们求出来

给定这个矩阵A的特征值

是0 1 3

我们给出来三个特征向量

分别是1 1 1

x2是1 0 -1 x3是1 -2 1

那么对应的特征值是0

lambda2是1 lambda3是3

好 我们刚才提到过

说我们给定的这个矩阵

A是一个实对称矩阵

我们看看它的三个特征向量

分别属于三个特征值的特征向量

我们发现它们有一个特点

它们是两两正交的

你用标准内积去做点积的话

发现x1 x2点积是等于0

x1和x3点积是等于0

x2和x3点积又是等于0

那这不是一个特殊的事实

这是一个一般的情况

我们将来会看到这一点

我们说实对称矩阵

它的特征值是实数

属于不同特征值的特征向量

两两正交

我们再过几节

会来证明这个一般的事实

我们再来看一个例子

我们看投影矩阵

P就是0.5 0.5 0.5 0.5

这样的一个矩阵

这是一个投影矩阵

我们来看它的特征值一定是0和1

那为什么

我们注意到这是一个不可逆矩阵

一定有特征值0

我们可以去容易求出来

它的特征值有1

那我们看属于特征值0的

这个特征向量怎么来看呢

我们看Px等于0

求解这个齐次线性方程组

容易求得它有一个基础解系

x1是1 -1

因此呢这个矩阵属于0特征值的

全部特征向量是1 -1

这个向量的非0倍数

那么lambda2等于1的时候

我们去看P-1乘以I

p-I这个矩阵

它的零空间或者说求解

相应的齐次线性方程组

我们可以求出来

这个（P-I）X等于0的

一个基础解系x2是1 1

因此P这个矩阵属于lambda2等于1的

全部特征向量是这样的

1 1这个向量的非0倍数

好 事实上这件事情呢

对于投影矩阵而言

我们有一个一般的事实

我们说假设P是子空间

到子空间V的一个投影矩阵

那我们对于

长在Rn里头的任何一个向量b

我们总可以做一个分解

可以分解成在V中的元素

V中的投影

和V的正交补上的投影的一个和

也就是b等于P+e

这个p是b在V中的投影等于Pb

那么我们可以看到b等于p+e

那我们可以看到

如果原来的这个b这个向量

本身就长在V里头

被投影之后还是它自己

因此呢 也就是说

长在V里头的向量

是P这个投影矩阵属于特征值

1的特征向量

那如果b这个向量

是长在V的正交补里头

也就是说如果它正交于V的话

那么Pb是等于0的

也就是说这时候

这样的b是对应着特征值lambda等于0

因为我们空间中的任何一个向量

都有这样的分解

我们可以说明投影矩阵的特征值

就是0和1

而相应的特征向量

属于1的是特征子空间

是V这个子空间

属于0的特征子空间呢

是V正交补空间

这是关于投影矩阵

接下来我们看的这个例子

是关于反射矩阵

R是等于0 1 1 0

我们可以容易做到说

求出来它的两个特征值是1和-1

好 我们看一下

对于lambda1等于1的时候

相应的R-lambda1I

是等于这样的一个矩阵

-1 1 1 -1

我们把第一行加到第二行来

就出现了0行

那么容易看到在这个时候呢

lambdaI乘以X等于0

它的基础解系x1等于1 1

因此R这个矩阵

它属于lambda1的等于1的

全部特征向量是x1这个向量的

非0倍数 也就是k1x1

那么对于lambda2等于-1这个特征值

R-lambda2I就是R+I

那是这个矩阵1 1 1 1

把第二行减掉第一行

变成1 1 0 0

容易看到这个齐次线性方程组

（R-I）x等于0

它的基础解系x2等于1 -1

因此R这个反射矩阵

属于lambda2等于-1的全部特征向量

是x2这个向量的非0倍数

那我们注意到

刚才x1是等于1 1

x2呢是等于1 -1

这两个向量是相互正交的

事实上对于反射矩阵

也就是说我们给定一个

单位的一个向量U

这是一个n维向量

单位阵减掉2倍的UUT

这个矩阵R 它是什么呢

它是什么关于这个

U正交的这个超平面

这个超平面

我们叫它U的正交补

关于这个超平面它的反射矩阵

那可以看到说

我们对于一个n维向量

如果这个向量V是跟U正交的

也就是说是长在这张平面上的

那么R去对这样的V去做反射的话

这样的V去做反射

还是等于它自己

因此长在这个u的正交补空间

这张超平面上的向量

是R这个反射矩阵

关于lambda等于1的特征向量

那如果这个n维向量

V是跟U平行的

这时候呢根据这个定义

可以看得到 或者说

根据这个反射的几何意义

我们可以看得到说我们这种

这种向量

和U平行的向量

它做一下反射之后就变成了是-U

那V是变成是-V

因此这种向量

跟U平行的向量

它是属于

特征值lambda等于-1的特征向量

反射矩阵R它有特征值1和-1

并且相应的两个特征子空间

是正交的

一个是U所张成那条直线

一个是跟U正交的超平面

那么接下来的这道题目呢

A是一个上三角阵

是一个很简单的2乘2的上三角阵

a b 0 d

那我们去计算特征多项式

我们很容易看得到

这个多项式是a-lambda乘以d-lambda

因此A这个矩阵的特征值

是对角元a和d

那么事实上对于一般的一个

n阶的三角矩阵

上三角也好 下三角也好

它的特征值不是别的

就是它所有的对角元

我们来再看

这个旋转90度的这个矩阵

A等于0 -1 1 0

那它去乘以一个向量之后

等价于是对这个向量

去逆时针旋转了90度

所以我们给它这个名字

叫旋转90度矩阵

那因为你对于任何的一个实向量

这个的意义呢

是对它旋转了90度

那么你A乘以这个向量

旋转90度后

和原来的向量显然不是共线的

因此呢就是说这样的矩阵

它一定是没有实特征值的

尽管

A本身是一个很简单的实矩阵

但是它没有实特征值

那怎么办呢

我们到复数域上去讨论

容易计算出来说

A去乘以i 1这个向量

等于i 1这个向量的i倍

A去乘以1 i这个向量

它等于1 i这个向量的-i倍

这个i就是-1的平方根

好 那么这样的话就是说

i 1它线性张成一条直线

我们说它的复非0倍数

是A这个矩阵属于特征值

i的全部特征向量

那么1 i的这个k2倍

k2是一个非零复数

它给出来我们这个A这个矩阵

属于-i的全部特征向量

那你看从这个里头可以看得出来

实矩阵呢它可能有复特征向量

可能有复特征值

我们再来看一个简单的例子

还是一个2乘2的例子

那这个矩阵

你注意到它有一个特点

它的元素都是正数

并且它每一列的和是等于1的

这样的矩阵有一个名字

叫Markov矩阵

它在概率论中非常的重要

我们注意到因为它每列的和

都等于1

所以A-I之后

它每列的和就是等于0了

因此A-I是不可逆的

这个A-I这个矩阵

它一定有特征值是0

这时候也可以说

我A原来这个矩阵

是有特征值等于1的

如果照部就班的来做的话

A-I的行列式

我们来看看这个特征多项式

我们发现它等于1/2

去乘以lambda-1 2倍的lambda-1

可以看出来它的根是lambda1等于1

lambda2等于1/2

这是A的两个特征值

对于lambda1等于1呢

A-I是这样的一个矩阵

-0.2 0.3 0.2 -0.3

因此

以它为系数矩阵的

齐次线性方程组有一个基础解系

X1等于3 2

因此A这个矩阵

A这个2乘2的Markov矩阵

它属于特征值lambda等于1的

全部特征向量

是x1的一个非0倍数

那相应的对lambda2等于1/2呢

（A-1/2 I）这个矩阵变成

这样的一个矩阵

那也容易看到

以它为系数矩阵的齐次线性方程组

有一个基础解系

X2是1 -1

因此呢A这个矩阵

属于lambda2等于1/2的全部特征向量

是x2的一个非0倍数

好

这是一个简单的Markov矩阵的例子

我们将来还会证明说

对于Markov矩阵而言

它的所有的元素都是正数

它每列之和等于1

对于这样的一个矩阵

1一定是它的一个特征值

好 从上面这些例子

我们可以看出矩阵的一些特殊性质

可以导致其特征值

特征向量的一些特殊性质