当前课程知识点：线性代数(1) > 第十九讲 特征值与特征向量 > 19.2 例 > default
接下来我们来看一些求解
方阵的特征值 特征向量的例子
第一个例子A是1 2 2 4
这样的一个矩阵
我们很容易看到
这个矩阵的第一行
和第二行是成比例的
所以它是一个不可逆的矩阵
那么因此呢Ax等于0
这个齐次线性方程组
它是有非0解的
容易看到A2 -1等于0
有这样的非0解
那么因此呢
lambda等于0是A的一个特征值
也就是说一般的情况下
一个矩阵如果不可逆的话
它是一定会有0特征值的
这是一个充要条件
我们来看第二个例题
A是这样的一个
三乘三的一个矩阵
我们求它的特征值和特征向量
那我们看到这个矩阵以后
我们发现这个矩阵的每行的元素
和是0 所以它也是不可逆的
由刚才的讨论我们知道
A一定有一个特征值是等于0的
我们叫lambda1等于0
那又注意到呢
A实际上是一个实对阵矩阵
这是对称的 -1 1 1 1
那么我们下面来看看
如何来求A的特征值和特征向量
我们根据我们第一步呢要求
特征多项式A-lambda I的行列式
那么是这样的一个矩阵的行列式
容易计算出来
它是等于lambda乘以1-lambda
乘以lambda-3
所以A的全部特征值
lambda1是等于0的
对应着我们刚才的分析说
这是一个不可逆的矩阵
它一定有一个0特征值
那lambda2等于1 lambda3等于3
我们看lambda1等于0的时候
这时候矩阵A-lambdaI就是A自己
我可以对它做初等行变换
第一行加到第二行来
等于0 1 -1
那么这样我们第三行
和新的第二行相加等于
出现了一个0行
那么再把第二行加到第一行去
从而使得变成一个阶梯型的矩阵
那么我们可以看到Ax等于0
它有一个基础解系是
x1等于1 1 1
因此呢原来的矩阵A
属于lambda1等于0的全部特征向量
就是这个x1的一个k倍
这个k1呢是一个非0的实数
同样的对于lambda2等于1
这时候（A-lambda2 I）就变成是A-I
是这样的一个矩阵
那对它来做初等行变换
第三行加到第二行去
然后再乘以一个-1
就得到这样的一个矩阵
0 1 0 1 0 1 0 0 0
那很容易看到（A-I）x等于0
这个齐次线性方程组
它有一个基础解系x2是1 0 -1因此呢
属于lambda2等于1的全部特征向量
是这样的一个x2的非0倍数
再来看相应于lambda3等于3的情形
A-lambda3I
就是A-3I 是这样的一个矩阵
我们对它来做初等行变换
第一行减掉第二行
然后第二行再减掉第三行
变成这样的一个矩阵
那么再接着来做初等行变换
我们用第二行减掉第一行
再把二三行交换一下次序
第一行再去乘以一个-1倍
我们得到这个阶梯型的矩阵
从这个阶梯型的
约化阶梯型矩阵里头
我们很容易看到（A-3I）X等于0
这个齐次线性方程组的
一个基础解系是1 -2 1
我们叫它是x3
这样的话
对于A的属于lambda3等于3的
全部特征向量
就是这个x3的一个非0倍数
好 这样我们求出来
给定这个矩阵A的特征值
是0 1 3
我们给出来三个特征向量
分别是1 1 1
x2是1 0 -1 x3是1 -2 1
那么对应的特征值是0
lambda2是1 lambda3是3
好 我们刚才提到过
说我们给定的这个矩阵
A是一个实对称矩阵
我们看看它的三个特征向量
分别属于三个特征值的特征向量
我们发现它们有一个特点
它们是两两正交的
你用标准内积去做点积的话
发现x1 x2点积是等于0
x1和x3点积是等于0
x2和x3点积又是等于0
那这不是一个特殊的事实
这是一个一般的情况
我们将来会看到这一点
我们说实对称矩阵
它的特征值是实数
属于不同特征值的特征向量
两两正交
我们再过几节
会来证明这个一般的事实
我们再来看一个例子
我们看投影矩阵
P就是0.5 0.5 0.5 0.5
这样的一个矩阵
这是一个投影矩阵
我们来看它的特征值一定是0和1
那为什么
我们注意到这是一个不可逆矩阵
一定有特征值0
我们可以去容易求出来
它的特征值有1
那我们看属于特征值0的
这个特征向量怎么来看呢
我们看Px等于0
求解这个齐次线性方程组
容易求得它有一个基础解系
x1是1 -1
因此呢这个矩阵属于0特征值的
全部特征向量是1 -1
这个向量的非0倍数
那么lambda2等于1的时候
我们去看P-1乘以I
p-I这个矩阵
它的零空间或者说求解
相应的齐次线性方程组
我们可以求出来
这个（P-I）X等于0的
一个基础解系x2是1 1
因此P这个矩阵属于lambda2等于1的
全部特征向量是这样的
1 1这个向量的非0倍数
好 事实上这件事情呢
对于投影矩阵而言
我们有一个一般的事实
我们说假设P是子空间
到子空间V的一个投影矩阵
那我们对于
长在Rn里头的任何一个向量b
我们总可以做一个分解
可以分解成在V中的元素
V中的投影
和V的正交补上的投影的一个和
也就是b等于P+e
这个p是b在V中的投影等于Pb
那么我们可以看到b等于p+e
那我们可以看到
如果原来的这个b这个向量
本身就长在V里头
被投影之后还是它自己
因此呢 也就是说
长在V里头的向量
是P这个投影矩阵属于特征值
1的特征向量
那如果b这个向量
是长在V的正交补里头
也就是说如果它正交于V的话
那么Pb是等于0的
也就是说这时候
这样的b是对应着特征值lambda等于0
因为我们空间中的任何一个向量
都有这样的分解
我们可以说明投影矩阵的特征值
就是0和1
而相应的特征向量
属于1的是特征子空间
是V这个子空间
属于0的特征子空间呢
是V正交补空间
这是关于投影矩阵
接下来我们看的这个例子
是关于反射矩阵
R是等于0 1 1 0
我们可以容易做到说
求出来它的两个特征值是1和-1
好 我们看一下
对于lambda1等于1的时候
相应的R-lambda1I
是等于这样的一个矩阵
-1 1 1 -1
我们把第一行加到第二行来
就出现了0行
那么容易看到在这个时候呢
lambdaI乘以X等于0
它的基础解系x1等于1 1
因此R这个矩阵
它属于lambda1的等于1的
全部特征向量是x1这个向量的
非0倍数 也就是k1x1
那么对于lambda2等于-1这个特征值
R-lambda2I就是R+I
那是这个矩阵1 1 1 1
把第二行减掉第一行
变成1 1 0 0
容易看到这个齐次线性方程组
（R-I）x等于0
它的基础解系x2等于1 -1
因此R这个反射矩阵
属于lambda2等于-1的全部特征向量
是x2这个向量的非0倍数
那我们注意到
刚才x1是等于1 1
x2呢是等于1 -1
这两个向量是相互正交的
事实上对于反射矩阵
也就是说我们给定一个
单位的一个向量U
这是一个n维向量
单位阵减掉2倍的UUT
这个矩阵R 它是什么呢
它是什么关于这个
U正交的这个超平面
这个超平面
我们叫它U的正交补
关于这个超平面它的反射矩阵
那可以看到说
我们对于一个n维向量
如果这个向量V是跟U正交的
也就是说是长在这张平面上的
那么R去对这样的V去做反射的话
这样的V去做反射
还是等于它自己
因此长在这个u的正交补空间
这张超平面上的向量
是R这个反射矩阵
关于lambda等于1的特征向量
那如果这个n维向量
V是跟U平行的
这时候呢根据这个定义
可以看得到 或者说
根据这个反射的几何意义
我们可以看得到说我们这种
这种向量
和U平行的向量
它做一下反射之后就变成了是-U
那V是变成是-V
因此这种向量
跟U平行的向量
它是属于
特征值lambda等于-1的特征向量
反射矩阵R它有特征值1和-1
并且相应的两个特征子空间
是正交的
一个是U所张成那条直线
一个是跟U正交的超平面
那么接下来的这道题目呢
A是一个上三角阵
是一个很简单的2乘2的上三角阵
a b 0 d
那我们去计算特征多项式
我们很容易看得到
这个多项式是a-lambda乘以d-lambda
因此A这个矩阵的特征值
是对角元a和d
那么事实上对于一般的一个
n阶的三角矩阵
上三角也好 下三角也好
它的特征值不是别的
就是它所有的对角元
我们来再看
这个旋转90度的这个矩阵
A等于0 -1 1 0
那它去乘以一个向量之后
等价于是对这个向量
去逆时针旋转了90度
所以我们给它这个名字
叫旋转90度矩阵
那因为你对于任何的一个实向量
这个的意义呢
是对它旋转了90度
那么你A乘以这个向量
旋转90度后
和原来的向量显然不是共线的
因此呢就是说这样的矩阵
它一定是没有实特征值的
尽管
A本身是一个很简单的实矩阵
但是它没有实特征值
那怎么办呢
我们到复数域上去讨论
容易计算出来说
A去乘以i 1这个向量
等于i 1这个向量的i倍
A去乘以1 i这个向量
它等于1 i这个向量的-i倍
这个i就是-1的平方根
好 那么这样的话就是说
i 1它线性张成一条直线
我们说它的复非0倍数
是A这个矩阵属于特征值
i的全部特征向量
那么1 i的这个k2倍
k2是一个非零复数
它给出来我们这个A这个矩阵
属于-i的全部特征向量
那你看从这个里头可以看得出来
实矩阵呢它可能有复特征向量
可能有复特征值
我们再来看一个简单的例子
还是一个2乘2的例子
那这个矩阵
你注意到它有一个特点
它的元素都是正数
并且它每一列的和是等于1的
这样的矩阵有一个名字
叫Markov矩阵
它在概率论中非常的重要
我们注意到因为它每列的和
都等于1
所以A-I之后
它每列的和就是等于0了
因此A-I是不可逆的
这个A-I这个矩阵
它一定有特征值是0
这时候也可以说
我A原来这个矩阵
是有特征值等于1的
如果照部就班的来做的话
A-I的行列式
我们来看看这个特征多项式
我们发现它等于1/2
去乘以lambda-1 2倍的lambda-1
可以看出来它的根是lambda1等于1
lambda2等于1/2
这是A的两个特征值
对于lambda1等于1呢
A-I是这样的一个矩阵
-0.2 0.3 0.2 -0.3
因此
以它为系数矩阵的
齐次线性方程组有一个基础解系
X1等于3 2
因此A这个矩阵
A这个2乘2的Markov矩阵
它属于特征值lambda等于1的
全部特征向量
是x1的一个非0倍数
那相应的对lambda2等于1/2呢
（A-1/2 I）这个矩阵变成
这样的一个矩阵
那也容易看到
以它为系数矩阵的齐次线性方程组
有一个基础解系
X2是1 -1
因此呢A这个矩阵
属于lambda2等于1/2的全部特征向量
是x2的一个非0倍数
好
这是一个简单的Markov矩阵的例子
我们将来还会证明说
对于Markov矩阵而言
它的所有的元素都是正数
它每列之和等于1
对于这样的一个矩阵
1一定是它的一个特征值
好 从上面这些例子
我们可以看出矩阵的一些特殊性质
可以导致其特征值
特征向量的一些特殊性质
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
