当前课程知识点：线性代数(1) > 第二讲 矩阵与线性方程组 > 2.3 线性方程组的行图和列图 > 2.3 线性方程组的行图和列图
我们看一下线性方程组的
所谓行图和列图
我们给一个很简单的线性方程组
给一个线性方程组x-2y=0
2x-y=3
这是由两个方程
两个未知量构成的方程组
我们可以把它写成矩阵形式
1 -2 2 -1
这个2乘2的矩阵去乘以x y
这个未知向量等于常数向量0和3
那从行的角度上来看
我们说每一行方程
它代表着二维平面上的一条直线
比如我们x-2y=0
它表示的是过0 0点
和2 1这点两点的一条直线
我们2x-y等于3
第二行方程它表示的是
平面上过0 -3这个点
和3/2 0这两点的一条直线
那么这两条直线的交点的坐标
2 1是方程组的解
我们就把这个图
叫做是方程组的行图
如果从另一个角度上来看
我们可以把方程组改成是
x乘以向量1 2加上y
去乘以向量-2 -1
等于常数向量0 3
那么解这个方程组
就等价于是求这个常数向量
0 3关于系数矩阵的列向量
1 2和-2和-1的线性组合
我们来看
这个是我们的向量1 2
第一列向量
第二列向量呢是-2 -1
那0 3是我们的常数向量
我们去寻找说0 3这个常数向量是否能够表示成1 2
和-2 -1的线性组合
我们可以看得出2去乘以1 2
加上1去乘以-2 -1
就恰好等于0 3
那么这个组合系数2和1
就给出来我们方程组的解
那这个图呢叫做方程组的列图
另一方面
从系数矩阵的角度上来看呢
这个简单的2乘2矩阵
是一个可逆矩阵
从定义来看我们任给这个b1 b2
我们考虑方程组
x减2y等于b1 2x减y等于b2
很容易可以求得
x等于三分之-b1加上2b2
y等于三分之-2b1加上b2
这是方程组的唯一的解
因此根据定义可知
这个矩阵是可逆矩阵
我们也容易写出来
这个逆矩阵A逆等于负三分之一
三分之二
负的三分之二 三分之一
一般的来说如果给我们一个
n乘n的矩阵A
n行n列的矩阵A
它的列向量分别是v1到vn
那么x是我们的未知向量
b是一个n维的常数向量
我们方程组Ax等于b的每一行
它代表的是一条直线
当n等于2的时候
代表的是一条直线
当n等于3的时候呢
表示的是三维空间中的一张平面
当n大于3的时候
表示的是n维空间的一张
所谓的超平面
也就是说它的余维数是等于1
这个时候我们求解
线性方程组Ax等于b
就等价于是考察这些直线
或者是平面
或者是超平面是否有交点
如果有唯一的交点
对应着方程组有唯一的解
如果有若干的交点
那么对应的有无穷多解
如果是没有交点
方程组没有解
那么它也等价于
是去考察我们的常数向量b
关于这个系数矩阵的列向量
v1到vn的线性组合x1 v1
一直加到xn vn是否等于b
那么这是从列图的角度上来看的
如果我们的方程组
对于任何的常数向量b
都有唯一的解
这也就是等价于说
我的系数矩阵A是可逆的
那么在这种情况下
x是等于这个逆矩阵A逆
去乘以常数向量b
那么这时候我们看右手边
我们可以是说
未知向量x可以是逆矩阵A逆的
列向量的线性组合
我们再来看一个例子
一个三元方程的例子
3x-y=0 x+2y-z=1
y+z=11
这个方程组有三个未知量
三个方程
那么它可以写成矩阵形式
我们把系数抽出来
构成一个3乘3的系数矩阵
乘以未知向量x y z
等于常数向量0 1 11
每一行方程呢
它确定的是三维空间中的
一张平面
那么这三张平面
我们可以发现
它有一个唯一的交点
这个点的坐标是6/5
18/5 37/5
这是三张平面的交点
那么这三个点
就给我们这个方程组的
唯一的一个解
x等于6/5 y等于18/5
z等于37/5
那么从列图的角度上来看呢
我们这个方程组可以等价于
下面的方式0 1 11
写成x去乘以第一列向量
加y乘以第二列向量
加z乘以第三列向量
我们看看三个列向量
3 1 0在这儿
-1 2 1在这儿
0 -1 1在这里
那么这三个向量是三维空间里头
不共面的三个向量
那么它们的线性组合
可以产生任何一个三维列向量
特别的可以表示出0 1 11
我们的常数向量
因此呢 我们断言说
这个方程组有唯一的解
那它的解呢
分别对应着我的常数向量
0 1 11用三个列向量
线性表示出来的这个表示系数
我们还可以说
在这种情况下A是可逆的
我们看说任意的b1 b2 b3
我们可以确切的解出来
用高中的方法就可以解出来这个
解是什么
我们把这个解的形式表示成A逆
那么这时候有唯一的解
x y z等于b1去乘以
这个A逆的第一列
加b2去乘以A逆的第二列
加b3去乘以A逆的第三列
也就是说我的未知向量x
是表示成了逆矩阵
A逆的列向量的线性组合
x+3y+5z=4
x+2y-3z=5 2x+5y+2z=8
我们可以把这个方程组
改成右手边的这个矩阵形式
我们说矩阵
系数矩阵A的三个列向量
我们发现三个列向量
1+1减掉2等于0
3+2减5等于0
5减3减2是等于0
那也是说这三个列向量呢
分别与向量1 1 -1的点积
都是0的
可是我们发现常数项4 5 8
它和这个1 1 -1的
点积是不等于0
所以我们常数项一定不能够
表示成系数矩阵的
三个列向量的线性组合
因此这个方程组是没有解的
我们通过列的这个
本质上从列图上就可以看出来
这件事情
这节课我们讨论了
矩阵与向量的乘法
给出了线性方程组的矩阵表示
讨论了向量的线性相关性
以及线性方程组的行图与列图
下节课我们将讨论
线性方程组的解法
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
