当前课程知识点：线性代数(1) > 第十二讲 四个基本子空间的正交关系 > 12.2 四个子空间的正交性 > 12.2
好 我们现在来确切的定义一下
两个子空间所谓垂直
或者正交是什么意思
设S和T是Rn的两个子空间
我们说S垂直于T
那么它意味着呢
对于S中的任何一个向量v属于S
T中的任何一个向量w属于T
那么它们的内积是0
我们知道两个向量的内积是0
那意味着这两个向量是垂直的
但是我们现在考虑的是两个空间
所以我们要求这两个空间中的
任何两个向量都是互相垂直的
那么S垂直于T呢
那么T当然也垂直于S
按这个定义
所以这个定义是对称的
我们把它记作呢
S用这样一个符号表示
它跟T垂直
那么我们把这个垂直呢
也可以说成是正交的
这两个概念是一样的
好 我们来看一些例子
Rn和0这是两个极端的向量空间
一个是全空间Rn
一个只有一个原点
那么这两个空间是正交的
按照定义呢
是任何向量都跟零向量是垂直的
我们看第二个例子
A是这样一个
四行二列的一个矩阵
它的列空间是这样的
后两个分量是取0
它的左零空间N A转置
等于0 0 c d
这个我们稍微说一下
就是所有的x y z w跟A乘等于0的
满足这个条件的x y z w
那么我们看一下
这个代进去验证一下呢
我们可以推出来x等于0等于y
这就是我们前两个分量
取0的原因
在这个例子中我们看到
CA和NA转置呢
它们都是R4的子空间
那么一个是前两个分量
可以随便取
一个是后两个分量可以随便取
那么我们可以
这两个空间CA和NA转置中
我们随便取两个向量呢
验证它们的内积都是0
所以CA跟NA转置是垂直的
我们再来看一个
跟通常的含义不太一样的
在通常中我们可以看到
xoy平面和xoz平面
在我们的直观是垂直的
但是按我们这个正交的定义呢
它是不垂直的
为什么呢
因为这两个空间
或者这两个平面
包含一个公共的点集
就是x轴
那么也就是1 0 0
属于这两个平面的交
那么如果有一个点
属于这两个空间
那么我们看到
这个向量跟它自己
就没有办法正交
那么这个我们可以推广到
一般的情况
就是 如果两个向量空间
它们的交不等于0
也就是是存在着一个非零向量
属于这两个空间的交
那么这个非零向量
它首先跟自己就不垂直
因为它跟自己的内积
实际上是它自己的长度的平方
它不等于0
所以S和T不正交
当然这并不意味着S和T
如果交是0的话 它们就垂直
好 我们先看下面这个命题
S跟T是Rn中的两个子空间
如果它们的维数和是大于n的
那么则S和T不可能正交
那么这个呢
我们简单说一下
它是利用我们的维数公式
就是任何两个子空间的维数和
它等于这两个空间和的维数
加上这两个空间交的维数
那么我们可以看到
和的维数肯定是不会超过Rn的
所以是小于等于n
这个是小于等于n
而这个我们按定义
或者已知条件它是大于n的
所以我们看到这个肯定
最后它的维数是大于0的
也就是S交T不等于0
那么这个命题呢
如果我们考虑S跟T的维数和是n
那么S和T也可能不正交
比如说我们从R平方中
取一条直线
y等于x 我们把这个叫S
这个空间
另一个是x轴
这是我们的T
这两条直线
它们的交只有一个点零向量
那么这两个明显它们是不垂直的
我们随便取这里面的一个向量
它们做内积是不等于0的
所以两个空间的交等于0
也并不意味着两个空间是垂直的
好 现在我们来证明
我们主要的定理就是
如果A是一个m乘n阶的矩阵
那么A的列空间
和A的左零空间是正交的
A的行空间和NA是正交的
我们在证明之前呢
我们先直观上想一想
这个定理的含义
我们知道
一般我们可以把一个矩阵A
化成一个行阶梯形矩阵
然后再化成简化的行阶梯形
最后我们通过列交换
可以把这个A化成一个
I F 0 0的形式
那么现在呢
我们就针对这个I F 0 0
这样一个矩阵呢
我们来看一下
它的CA NA转置 CN转置 NA
是不是有这个定理中的这个关系
比如说我们来看一下
CA转置 CA转置是什么呢
就是A的行
我们针对这个矩阵
这个矩阵我们起个名字叫B吧
那我们现在考虑的是CB转置
CB转置就是B的行构成的
就是I F的行线性组合
那么我们看一下N B呢
NB我们以前已经知道
实际上就是-F I的列的线性组合
所以从这一点上来看
我们来看一下
这个的行和这个的列
它们是不是互相垂直的
我们可以明显看到
是互相垂直的关系
所以我们可以看到
从这一个直观的例子中可以看到
CB转置和NB是垂直的
这就是我们定理呢一般的背景
好
我们现在来证明一下这个定理
我们首先从NA转置里面
取一个向量α
那么按照定义呢
就是A转置α等于0
那么这个
也当且仅当两边取个转置呢
就是α转置A等于0
这就是我们这个表达式
那么我们按照矩阵的乘法呢
这个一行
α转置这一行跟A乘呢
实际是跟A每一个列做内积
那么这告诉我们
它跟A的每一列做内积是0
也就是说α和A的全部列向量
是垂直的
那么A的列空间呢
实际上是所有列向量的线性组合
那么我们可以推出α垂直于CA
如果我们用空间的语言说
就是α所在的一维空间
或者所在的直线
和CA这个空间是垂直的
或者正交
这样我们就推出了NA转置
和CA是垂直的
如果我们把A换成A转置呢
那么我们也推出后面一个
就是CA转置和NA是垂直的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
