当前课程知识点：线性代数(1) > 第十一讲 四个基本子空间的基和维数 > 11.1 四个基本子空间的基 > 11.1
大家好
上一讲我们学习了
向量空间的基和维数的概念
我们从中可以看到
Ax等于0的零空间
实际上它的基就是基础解系
那么这一讲呢
我们关于A
考虑它的四个基本子空间的基
也就是说
行空间 列空间
零空间和左零空间
我们通过把A化成
简化的行阶梯形
来确切地找出
四个基本子空间的基
在这一讲的第二部分
我们来考虑维数公式
这个维数公式
它研究的是两个空间
它们的加和它们的交
以及这四个空间之间的维数关系
最后我们给出
这个维数公式的一些应用
下面
我们来开始这一讲的主要内容
大家好
在上一讲呢
我们学习了一个向量空间的基
及维数的定义
那么这一次呢
我们把这个定义运用到
线性方程组的概念上
也就是我们来求
四个基本子空间的基与维数
这四个基本子空间
有两个我们在前面已经见过了
另外两个是对偶的
我们来看一下
设A是一个m乘n阶的矩阵
考虑列空间
列空间就是A的列向量
所组成的空间
那么也就是说任何这种向量
都可以写成一个
A成上一个n维向量的形式
行空间
行空间就是由
A的行的所有线性组合
组成的空间
把它写成这种A转置乘x的形式
因为A转置的列就是A的行
零空间
零空间就是满足Ax等于0的
所有的n维向量
左零空间
就是我们这一块我们叫左
是因为我们实际上这个等价于
x转置A等于0的
满足这个方程的所有x
这两个是个转置关系
我们在这节课就考虑一下
这四个基本子空间
它们的基怎么求
我们稍微注记一下
CA和NA转置
实际上是Rm的子空间
这个m就是A的行数
CA转置和NA是Rn的子空间
这个n就是A的列数
现在我们来具体的从CA开始看
我们设A还是如上
我们使用消元法
A通过行变换变成U0
然后再通过列对换呢
变成了Ir F 0 0这个形式
r是A的秩
那么我们先来求CA的一组基
这个实际上我们在前面已经算过
我们现在复习一下
CA的一组基呢
实际上就是A的主列
那么A的主列呢
实际上是通过U0读出来的
我们看下面这个例子
A等于这样一个矩阵
它有四行五列
我们把它变成U0
那么我们可以从U0可以看出
这个第一列 第二列
和第四列是主列
那么相应地
A的一二四列就是A列空间的基
下面我们再来看行空间的基
求行空间的基呢
根据定义呢
A通过行变换变成U0
这是行变换
那么既然是行变换呢
那么A的行空间
和U0的行空间是一样的
因为都它们行的线性组合
所以我们有这个结果
但是U0的行空间
因为U0的形式很简单
所以它的基很容易求出来
我们拿上一例来看一下
上面这个例子我们可以看到
U0它的行空间呢
正好是主元所在的行
所以我们来看上面这个
正好是主元所在的这些行
所以是前三行
就是U0的行空间的基
那么相应地呢
它也是A的行空间的基
但是我们希望直接写出
用A的行向量来写出
A的行空间的基
那我们应该怎么做呢
我们看一个例子
这样一个简单的矩阵
那么我们把每一行做个标记
用α1转置 α2转置 α3转置
来表达
好我们对它进行行变换
用第一行乘个-2加到第二行上
那么我们就得到这样一个矩阵
那么按现在这个记录呢
我们看这个呢
第一行还是原来的α1转置
第二行变成α2的转置
减去2倍的α1的转置
这个我们看是0向量
第三行没有动 还是α3转置
从这儿我们可以看出
A的第二行
实际上可以用第一行和第三行
线性组合来表达
所以α1和α3呢
我们可以检查
它是A的行空间的基
这样一个方法呢
通过检查每一行
通过这种行消去被消掉了
那么这一行呢
实际上
就能被其他行线性表达出来
我们来看下面这个例子
这个例子呢 A它有五行
我们也用α1到α5的转置来表达
那么我们对它进行一次行变换
行变换第一次呢
那么第一行乘上1加到第二行上
第一行乘个负1加到第四行上
就这样不断地算
这样我们得到了这样一个矩阵
这个矩阵呢
用原来的行来表达呢
分别是这样的
我们继续这个过程呢
直到化出行阶梯那种状态
或者把某些行化成0
那我们再往下化
化到这一步以后呢
第三行也消失了
原来的第三行
第五行消失了
那么这样我们就得到了
三行和五行被消掉了
其他行呢很明显
第一行和第二行线性无关
和第四行也线性无关
因为
它们的每一行的第一个非零元素
实际上这三个是在不同的列
所以我们可以看出
第一行 第二行和第四行呢
它们肯定是线性无关的
而相应地
第三行和第五行
它们最后都被化成了0
这样就说明第三行和第五行
实际上都能被一二四行
进行线性表达
所以我们从这儿可以看出
一二四行
实际上是CA转置的基
这样我们求出来的
就是用A的行
来确切地写出A转置的
列空间的基
A的行空间的基呢
你也可以把它想成
A转置的列空间
那么按照求列空间基的方法呢
来算出它的基
那么这样求出的结果呢
能够保证A的列是没有动
但是行又发生了变化
好 下面我们来NA转置的基
NA转置的基呢
我们有两种方法
一种是像求NA的基一样
把A转置看作一个矩阵
这个矩阵的零空间的基
基础解系这样我们算
第二种方法呢
是跟A求零空间的基一样
我们要把A化成一个
简约的行阶梯形 化到U0
那么在这个过程中呢
我们实际上是
对A的左边乘了一个可逆阵E
EA就等于U0
那么如果我们把E写成
行的分量的形式 有m行
好 我们把这个分块矩阵呢
用在这个等式上
我们来看一下
我们会发现
我们来写一下
u1转置到um转置A等于U0
那我们看这个左边呢
实际上我们写进去
有u1转置一直到um的转置A
就是第一行实际上是u1转置A
第m行是um转置A
但是U0我们看到
它的后面的m-r行是零向量
所以呢
前面的r行我们不管
后面的m-r行是零向量
这说明u r+1乘上A
这是左边的第r+1行
um转置A是左边的第m行
它们都是0
这也说明了ur+1到um呢
实际上是NA转置的一组基
这个是为什么呢
因为ur+1到um呢
首先E是可逆的
这说明E的行是线性无关的
所以这个一组向量是线性无关的
另一方面呢
NA转置的维数是m-r
所以这个无关的向量
正好已经充满了
NA转置的一组基
那么现在的问题是
我们在这个过程中
怎么来求这个E
如果我们求出这个E以后
E的后m-r行呢
就是NA转置的一组基
那么怎么来求这个E呢
我们看一个极端的情况
如果A是个可逆阵
A通过刚才这种行变换
变成U0 恰好就是单位阵
那么大家回忆一下
A变成单位阵的时候
当时我们怎么来算A的逆呢
也就是说我们怎么记录下
这个变换出来的这个E
这个E就是我们求的可逆阵
那么我们当时的方法呢
是通过一个分块的形式
记录下来了
当把A变成单位阵的时候
这边这个单位阵呢
就算出了E 也就等于A逆
所以这种方法呢
在我们现在这个情况
也是一样的
就是我把一个A变成矩阵U0呢
我们怎么记录这个E呢
好 我们给一个矩阵A
通过行变换呢
我们把它化成了这种阶梯形
但是这块这个E还没消掉
我们再往下化
最后我们化成这个样子
这样子它就成了一个
简化的行阶梯形
那么这个例子中呢 我们来看
我们要想算这个E呢
首先要把这个写出来 这个
然后我们要把这个行变换
用这个初等阵去记录下来
然后把两个乘起来
才是真正的E
那么为了记录这个E呢
我们把A和单位阵放在一起
当A变成U0的时候
这个单位阵
就记录下了所有的行变换
也就是E
好 我们总结一下
我们有四个基本子空间
有两个是Rn的子空间
分别是A的行空间和A的零空间
还有两个是Rm的子空间
分别是A的列空间
和A的左零空间
它的维数m-r
它们求的主要方法呢
都是根据
把A化成简化的行阶梯形
然后获得一些信息来算的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
