当前课程知识点：线性代数(1) > 第十六讲 行列式的基本性质 > 16.2 二阶行列式的几何含义 > 16.2 二阶行列式的几何含义
现在我们来看
二阶行列式的几何含义
n等于2的时候呢
那么我们考虑2乘2矩阵的全体
我们把第一列呢
我们用α表示 第二列用β表示
那么这个矩阵的行列式呢
实际上就是由α和β
围成的平行四边形的一个面积
带方向的面积
确切地算一下呢
就是α和β的长度
再乘上sin theta
这就是a b c d的行列式
前面的正负号呢
是根据α β
是顺时针还是逆时针
如果我们从α到β
是顺时针旋转
那么我们就取-号
如果α到β是逆时针旋转
那么我们就取+号
例如行列式1 0 0 1
我们来看一下
1 0到0 1
从1 0到0 1呢
这个是我们的逆时针旋转
所以我们取的是+的
如果从0 1到1 0呢
是个顺时针旋转
所以我们取的是负号
那么这个围成的面积是等于1的
那么我们从这儿也可以看出
行列式a b c d等于0
当且仅当α和β在一条直线上
换句话说就是α和β是线性相关
我们来看一下
二阶行列式的一些性质
从几何这个图形面积上来看
第一个性质呢
就是一个矩阵的行列式给它
左乘一个数k
相当于把某一列乘上一个k
既可以是第一列
也可以是第二列乘上k
那么从几何图形上来看呢
左边这个图形就是
a b c d的行列式这个面积
右边这个呢就是ka kc
也就是kα和β围成的
这就是kα和β b d
它们围成的面积
那么这两个面积的关系呢
我们从图形上就可以看出
它的k倍就等于它
第二个性质呢
这个行列式的第二列
可以写成两个列向量的和
就是b1 d1这个列向量
和b2 d2这个列向量
那么两个列向量的和
它们导致了
这个行列是可以拆分成
两个行列式的和
大家注意第一列并没有动
使用了同一个
那么从几何图形上看呢
就是我们令α等于a c
是第一列
第二列是β1+β2
那么
我们给它看一下这个面积关系
α和β1张成的平行四边形的面积
这个就是我们的α和β1
张成的平行四边形面积
就是这一块
加上 这是+号
α和β2张成的平行四边形面积
那么α呢可以移到这一块
所以就是这一块面积
这两块面积有向面积的和
作为有向面积的和
它们等于什么呢
等于α和β1+β2
张成的平行四边形的有向面积
也就是这一块
那么大家可以看到
这个非常相似于矢量的和
矢量的有向和
只不过现在是在一个面积
有向面积上进行加法
所以这个加法
并不是简单的数字相加相减
它是满足某种跟平行四边形法则
相似的一种运算性质
这个性质告诉我们
我们把一个列向量
拆分成两个向量的时候
其他向量不动
那么我们等于可以把这个行列式
拆成两个行列式的和
这个性质和上面的性质呢
我们统称为线性性质
由这两个性质我们可以看到
如果我们考虑某两个向量
k1b1 k1d1加上k2b2加上k2d2
也就是说我们用向量的形式写
就是α
第二个就是k1β1+k2β2
我们都可以会算了
那这个我们就可以拆成
k1倍的α β1+k2倍的α β2
这个性质我们叫做线性性质
第三点呢我们来看
当我们把两列进行调换的时候
这个行列式的值变负号
这个呢
我们可以从面积的角度来理解
就是当ac和bd它们围成的面积
和bd ac围成的面积是一样的
但是呢方向正好相反
一个是顺时针 一个就是逆时针
所以它们之间差一个负号
第四条性质
当我们把这个矩阵的行变成列
列变成行进行转置的时候呢
我们看到它的行列式值是不变的
这个我们可以
大家通过右边这个图呢
确切地计算一下
可以看到它们的行列式值是一样的
这个告诉我们
行向量围成的面积呢
和列向量围成的面积是一样的
换句话说就是A的行列式
等于A转置的行列式
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
