当前课程知识点：线性代数(1) > 第十二讲 四个基本子空间的正交关系 > 12.3 正交补 > 12.3
根据以上的讨论呢
我们得到了A的四个子空间之间
有如下的关系
CA转置加NA等于Rn
CA转置跟NA是垂直的
对偶的 把A转置换成A
我们就得到了下面这个等式
CA跟NA转置是垂直的
它们之和是Rm
那么这个和的概念呢
代表的是我们的向量空间的和
满足这种关系呢
我们就称为正交补
就是CA转置是NA的
在Rn中的正交补
CA是NA转置在Rm中的正交补
它们的关系
可以用如下这个图表示
换句话说
就是任意的一个α属于Rn
我们可以用图形表示
假如这是α
那么这个α可以分解成两个向量
这两个向量互相都是垂直的
那么这个垂直概念
当然是按照我们内积为零的
那种垂直概念
这个我们叫αn 它是属于NA的
这个是αr它是属于CA转置的
那么αr呢和αn是垂直的
就是我们把Rn中任何一个向量
分解成两个垂直的向量
那同样的道理
对Rm也是一样的
CA转置和NA呢
它们中间的交只有一个零向量
那么我们一般的定义
正交补是怎么定义呢
我们说V是Rn的一个子空间
就是我们首先定义正交补
就像定义集合的补一样
我们需要一个全集的概念
所以全集现在是Rn
这里面是全空间
V是Rn的一个子空间
V在Rn中的正交补呢
就是所有跟V中的任何一个向量
都垂直的那种w
把它们放在一起得到一个集合
那么我们看这个集合呢
它是一个空间
这是一个空间
这是一个子空间 Rn的子空间
大家可以验证一下
比如说w1
和V中的任何一个向量垂直
我们简单写成这样
w2和V中的一个任何向量垂直
那么w1加w2它们的转置
跟v等于0 任何v属于V
所以这样我们就推出了
w1 w2也属于这个正交补
所以这是一个子空间
我们把它记作V的右上角
一个垂直的符号
叫正交补的概念
那么如果更简单地说
正交补就是跟V垂直的
最大的一个空间
就是把所有跟V垂直的向量
放在一起 得到的一个空间
这是最大的一个跟V垂直空间
第二个呢
正交补它并不是补
它不等于补
就是它并不等于Rn把V中的向量去掉
我们前面说过
在一个空间里面
把一个子空间去掉
得到的补集一般来说都不是空间
因为它不包含零向量
所以这个正交补的概念
大家注意
跟集合的补的概念不同
好 我们现在验证一下
上面定理中的就是CA转置
确实是NA的正交补
我们来验证一下
我们首先从维数上来看
CA转置的维数
如果A的秩是r的话
这个维数就是r
而CA NA它的维数就是n-r
所以从维数上来看呢
再加上CA转置
这两个维数和 它们是等于n的
维数等于n的
所以从这种直观的
这样一个判断呢
我们大概能看出
CA转置作为NA的正交补
是合理的
那么现在我们来证明一下
我们假设已经知道了
这个CA的转置跟NA是垂直的
所以CA转置呢
实际上都落在NA的正交补里面
因为NA正交补是最大的
跟NA垂直的向量的全体
所以CA转置是它的子空间
那么现在我们只要证明
这个包含 反包含
反过来也是对的
那么就是任意v属于NA正交补
那么假设v不属于CA转置
那么我们就可以
考虑一个新的矩阵
这个矩阵是在
A的这个矩阵下面加的一行
得到A0
这个矩阵的行空间
包含A的行空间的
而且是严格包含
这个原因是因为
最底下一行
它并不属于A的行空间
但是我们来看一下
A跟A0 它们的零空间
确实是相等的 这个是相等的
原因是因为
这个v是属于NA的正交补
所以NA0和NA是相等的
那么我们来看A0的列数呢
减去rA0
它就等于A的列数减去r A
由这个等式我们自然就推出来了
rA和rA0是一样的
也就是A和A0的秩是一样的
那么这就告诉我们
这个行空间的维数
A的行空间维数
和A0行空间维数是一样的
那么它们这个子空间呢
就由这个等式我们就可以推出
它们实际上是相等的
这个和我们前面这个假设呢
真包含是矛盾的
所以我们可以推出
v实际上是属于CA转置
这个证明不是那么直观
但是我们也可以
从另一个角度来考虑
就是任意的α属于NA正交补
这个是Rn
那么α它既然属于Rn
而Rn就是CA转置加上NA
由这一条我们可以推出
CA转置加上NA的正交补等于Rn
那么就可以写成两部分
α1+α2这个属于CA转置
这个属于NA
那么我们可以继续往下推
把α减去α1呢
就把这个α1移过来 就等于α2
这个等式的左边
它是属于NA正交补
因为α1属于CA转置
而CA转置
又是NA的正交补里面的
一个子空间 右边它属于NA
那就告诉我们
一个向量既属于NA正交补
又属于NA
那么一个空间
和它正交补之间的交集只能是0
所以呢
我们就可以推出α-α1等于α2
最后都等于0
这样我们实际上验证了
任何一个向量属于NA正交补
它实际上属于CA转置
好
现在我们把刚才说的做个注记
如果A是m乘n的一个矩阵
它的秩是r
那么它的列空间的维数
行空间维数都是r
它的零空间和左零空间维数
也都可以给出来
那么上面这个定理呢
它确实更加细致地刻划了
这四个子空间的正交补这种关系
那么如果A是对称的话
也就是A和A的转置一样
那么这时候上面两个式子呢
就是定理中的两个等式
实际上就可以归结为一个
因为这时候A和A的转置一样
那么A的列空间
就等于A的行空间
那么这时候CA就跟NA是垂直的
那么一种非常特殊的情况
就是我们给一个矩阵A方阵
那么我们
我们就可以构一个对称矩阵
A转置A
而A转置A呢
它满足NA跟NA转置A是一样的
CA转置跟CA转置是一样的
这个我们稍微解释一下
就是首先Ax等于0
我们就推出来A转置Ax等于0
这就告诉我们
任何一个NA中的向量
都是A转置A中的一个向量
都是A转置Ax0 满足这个特点
那么反过来包含呢
那么任意的一个α属于NA转置A
那么我们可以推出来
A转置Aα就等于0
那么我们的目标
是希望能推出Aα就是0
那么这时候我们使用一个技巧
就是在这个方程
这个等式两边左乘一个α转置
那么就是α转置A转置Aα等于0
如果我们令Aα等于一个β
那么因为A是一个矩阵
它乘以一个向量
还得到一个新的向量β
那么上面这个等式告诉我们
β的转置乘上β就等于0
那么一个向量跟它的转置
这样一乘呢
实际上是这个向量的长度的平方
那么我们马上就知道
这个向量就是0
而这个向量是等于Aα的
所以我们可以推出α就属于NA
这就是NA等于NA转置A
那么后面这个呢
我们可以从维数上考虑
就是首先CA转置
它是包含CA转置A的
这个我们在前面解释过
就是A转置A呢 实际上
就是任何一个矩阵
我们知道有这个结果
就是CA总是包含CAB的
然后我们为了证明
这个是相等的话
我们就使用NA等于NA转置
来推出它们的维数是一样
等号就是使用维数
这样我们就推出
它们是相等的关系
好 现在我们希望把这个定理
应用到Ax等于b的求解问题上
来看
首先我们来做一个简单地观察
x是Rn的一个向量
Ax呢 那么这里面这个A呢
我们还是m乘n阶的
Ax就是Rm中的一个向量
那这样
我们实际上得到了一个映射
就是把Rn映到了Rm
任何一个向量给它左乘一个A
那么接着来分析一下这个映射
因为我们前面已经有Rn和Rm
四个子空间 这个关系
那我们确切地来看一下
如果我们从Rn
它本身是从CA转置加上NA
那我们看
如果一个向量属于CA转置
那么它的像呢
就应该属于A的列空间
如果一个向量属于NA的话
那么左乘A结果是0
就映到0
那么一般的任何一个向量α
我们刚才说了
它按照Rn的这种分解呢
可以写成一个αn和αr
这样一个形式
就是α 它本身写成αr+αn
其中αr是属于CA转置的
那么这时候我们按A来映一下
我们看
那么Aα实际上就最后是Aαr
就得到这个 这个最后属于CA
这个事实告诉我们
就是任何一个Ax等于b
如果有解的话 它有解的话
就可以有一个α属于Rn
Aα等于b
那么这个事实告诉我们
其实α呢在CA转置中的这个分量
它实际上也满足这个性质
这就是我们得到的下面这个定理
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
