当前课程知识点：线性代数(1) > 第七讲 向量空间 > 7.4 阶梯形 > 7.4 阶梯形
大家好
我们前面已经讨论了Ax等于b
相关的两类空间
一类是CA 一类是NA
那么也说了
就是Ax等于b的解最终呢
实际上就是
一个特殊的解加上NA
所以呢现在一个很关键的问题
是怎么来求NA
也就是说Ax等于0的解
我们来看一个例子
这个例子是我们对A进行消元
这个消元的过程呢
跟我们前面说LU分解
是很相似的
我们用第一行乘以-2
加到第二行上
这样我们就可以把这个2消掉
然后我们乘以1
乘上一个-3加到第三行上
这样我们就可以把这个3消掉
那么最终
我们就得到这样一个矩阵
那么这个矩阵我们来看一下
在第二行的第一个非0元
这个2
它的下面还有个2
所以我们还要继续消元
就是用第二行乘以-1
加到第三行上
这样呢我们把这个变成0了
那我们由前面的知识我们知道
这个实际上就是主元
这个是我们的第二个主元
那么这样一个矩阵U呢
我们叫行阶梯形矩阵
行阶梯形式
我们可以看到
刚才我们从A变到U呢
只做了行消去
所以我们把这个叫做行阶梯形式
而且呢U这个矩阵呢
我们看它的形式呢
在我画的这个折线下面全是0
也就是主元的下面全是0
每一个主元它以下呢
所在列以下全是0
那么由刚刚我们可以看到
这个实际上是对应的x1的系数
这个是对应的x2的系数等等
那么现在这一块一样的
这个对应的是x1的系数
这个呢对应的x3的系数
因为1和这个2是所在的这两列
是x1和x3的系数
所以我们把x1和x3叫主变量
就是关于主元所在的列叫主变量
它们相应列呢叫主列
那么另外两列呢
是x2和x4的系数
那么我们把那个称为自由列
和自由变量
这样我们把Ax等于0呢
就转化成了Ux等于0
那么Ax等于0的解
和Ux等于0的解是不是同解呢
那我们可以看一下
从这个A变成这个U
这样变的过程呢
实际上只做了一个行变换
那么由我们前面的知识呢
实际上U是等于
一个可逆矩阵乘上A E可逆
所以我们从这儿看到
Ax等于0和Ux等于0
实际上是同解的
所以呢这样做是合理的
这样我们把Ux等于0
这个方程组写出来
这个方程组就是这个样子
那么到这一步以后呢
我们还是不容易看出来
这个具体的解
那么原因是什么呢
原因是在第一个方程里面
主变量x3它还留在里面
所以我们希望保证每一个方程
只有一个主变量
那么我们把这个要消掉
所以我们把U继续做行变换
就是要把这个2消掉
当然是把第二行乘以-1加上去
这样就消掉了
这样我们就得到了
一个新的矩阵U0
那么同理呢Ux等于0
和U0x等于0是同解的
所以我们把最初的Ax等于0的
求解问题转化成了
U0x等于0的求解问题
那么到U0x等于0
它的解就很好算了
原因是什么
原因是在每一个方程里面
只有一个主变量
那么我们把自由变量
都移到右边
这样我们就得了
这样一个四个等式
这四个等式呢
我们把它整理写成向量的形式
就是这样的
这个形式写的时候呢
我们把右边的x2的系数呢
构成了一个新的向量
X4的系数呢
构成一个新的向量
最终我们可以看到
x2 x4是作为自由变量
它们是可以随便取的
那么整个U0x等于0的解呢
最后就是x2 x4的系数向量的
任一线性组合
最后我们得到了这个解
好 最后我们需要注记一下
就是刚才我们说过的
A通过行变换变成U呢
则NA就等于NU
因为实际上是U等于A乘左边
乘了一个可逆矩阵
那么Bx等于0呢
那推出ABx等于0
这说明NB实际上是
NAB的一个子空间
CAB呢是一CA的一个子空间
因为A乘上B呢
实际上是A乘到B的每一列上去
那么最后
Ab1到Abn
每一个Abi是作为一个列向量
它实际上还是属于CA的
所以这个每一列
都是属于CA这个空间的
那么最终呢
CAB当然是CA的一个子空间
最后作为一个练习
大家可以比较一下
这个分块矩阵的0空间
和NA和NB的关系
最后我们强调一下一个概念
给定V1 V2是Rn中的
两个子空间
则我们可以做这样一个集合
就是把V1 V2中的任何
两个向量相加
得到的所有的向量的全体
我们写成V1+V2
那么这样一个集合呢
我们可以验证它是一个子空间
因为V1 V2这个空间里面的
任何两个向量的线性组合
还是属于这个空间
但是呢
这两个向量子空间的并
它并不是一个子空间
比如说我们取V1呢
就是y等于x这条直线
这条直线过原点
所以它实际上
是了R2中的一个子空间
那么再取一个y等于-x
那么这个是我们的V1
这个是V2
可以验证这两个都是子空间
那我们可以看到1 1
是属于的V1的
-1 1是属于V2的
所以这两个向量呢
当然应该属于V1并V2
但是我们把这两个向量
我们加一下
1 1加上-1 1
那么我们就得到了一个0 1
我们看到了0 1这个向量
并不属于V1并V2
0 1是y轴上的一个点
所以这样子我们就可以看出
V1并V2对加法不是封闭的
所以它不是一个子空间
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
