当前课程知识点：线性代数(1) > 第十讲 线性无关、基与维数 > 10.1 引言 > 引言
大家好 大家可能还记得
我们当初引入向量空间
这个概念的时候呢
我们就说过
我们日常中
有向量空间中一些常识性的
认为直线是一维的
平面是二维的
我们这个问题呢
将在这一讲中确切地来理解
就是说维数的概念
那么为了描述维数呢
我们要引入向量空间的坐标系
向量空间坐标系中坐标轴的个数
将是我们维数的定义
那么这里就产生了一个问题
坐标系中坐标轴的个数
会不会因为坐标系的选择
而发生不同呢
我们将在这一讲中
确切地回答这个问题
那么另一方面
我们也会看到向量空间的概念
向量空间中维数的概念
都和我们通常的几何的直观
是一致的
下面我们来开始
这一讲的主要内容
这一讲来学习关于无关性
基与维数
我们在前言中说过
我们经常说
我们日常的二维空间 三维空间
或者直线是一维的
平面是二维的
我们生活在三维空间里面
那么这些概念呢
我们在这一讲中
把它用确切的数学含义
给它描述出来
我们现在还是从方程组的角度
来看一下
给定一个Ax等于0
A是m乘n阶的矩阵
那么我们来回忆一下
A的列向量中呢
无关向量的个数
或者A的列秩
等于A的行向量中无关向量的个数
或者叫行秩
也就等于真正起作用方程的个数
或者按以前的说法
实际上一个是列的角度来看
一个从行的角度来看
行的角度看
就是方程的个数中的角度来看
第二个是解空间中
无关解向量的个数
等于自由变量的个数
那么这个无关解向量的个数呢
实际上更确切的
就是我们说的基础解系
那么s跟r加起来
就是我们的A的列数
这个直观地理解呢
我们在前面也说过
实际上就是说给定了r个方程
真正起作用的r个方程
然后呢
又给了n个未知量
那么一个方程最多能求出一个解
那么r个方程只能求出r个解
剩下的n-r个呢求不出来
就让它自由变化
所以这就是我们Ax等于0
求解中从直观角度
来理解是这样的
那么当时我们求解过程呢
是通过这种方法
就是先把A进行行变换变成U0
然后通过列变换变成R
那么R虽然跟A
它们齐次方程组的解不一样
但是它们只是变换了一下
未知量的一个次序问题
我们设F等于cij r乘上n-r
则Ry等于0呢
有n-r个无关的解向量
求n个无关解向量
我们只要看这一块就知道
它确实是无关的
所以把它延长的时候还是无关的
那么我们设U0呢
它的i1 ir列行如这个样子
那么第ik列实际上呢
就是1放在第k分量上这样子
但是U0呢
它这些列是分散开的
R是把它通过列交换放在一起了
所以呢我们最后
P1i1 P2i2就是U0到R的
一个列对换
这个就是把第一列和i1列换一下
使得U0的第i1列
移到了第一列
按这种对换呢
最后就变成R那种形状了
然后将eta1到eta r的i1到ir分量
eta1到eta r
就是刚才我们R中的
r个无关的向量
把这个分量次序变一下
这样我们就得到了r个向量
这r个向量
就是我们的Ax等于0的基础解系
这是我们前面学过的
那在这节课呢
我们确切地来理解
这个基础解系这个的含义
这个含义的就是
直观地说
实际上就是Ax等于0
解向量空间的坐标系
这是我们直观理解
好 我们现在一般的
来刻划一下这个概念
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
