4.8 矩阵的转置在线视频

接下来我们看一下矩阵的转置

我们一个m乘n的矩阵A

m行n列,它的行和列互换

得到一个新的矩阵

这时候我们记成是aji

它变成是有n行m列

我们把它称为是A的转置

我们看例子

A是这样的一个矩阵

是一个两行三列的一个矩阵

我们把这个A的第一行换成它的第一列

它的第二行换成第二列

得到这个A的转置

那B是一个2乘2的矩阵

那B的转置仍然是一个2乘2的矩阵

那么第一行换成第一列

第二行换成第二列

C是一个下三角矩阵

它是一个3乘3的一个下三角矩阵

它的转置呢

它的第一列换成第一行

第二列换成第二行

第三列换成第三行

那么变成一个3乘3的上三角矩阵

那D是一个对角阵

那它的转置还是一个对角阵,是它自己

从转置的定义里头我们很容易看到

转置具有下面的性质

一个矩阵的转置再做转置,是等于它自身

两个矩阵相加再做转置呢,是等于转置的和

对任意的数k

（kA）的转置

等于k乘以A的转置

两个矩阵乘积去做转置

这个性质有点比较要紧

那么两个矩阵乘积的转置

是等于第二个因子B的转置

去乘以第一个因子A的转置

那么前面三条性质

很容易可以从定义里头看出来

第四条性质我们来证一下

我们设这个A呢

它是一个m乘n的一个矩阵

那么我们把它的列向量记成a1到an

那B和A要能相乘

B的这个行数要等于A的列数

所以都是n

我们把它的列数记成是p

B是一个n乘p的矩阵

我们把它的列向量记成b1到bp

那么AB乘积的转置

AB乘积可以看成是A和B的列向量去做相乘

得到Ab1,...,Abp

然后做转置

做转置之后呢

这些个列向量现在就化成行向量

那么是Ab1这个列向量的转置

Abp这个列向量的转置

好 那么B的转置乘以A的转置是什么呢

我们把B的转置,它的行向量拿出来

那么它的行向量

是原来B的列向量做转置得到的

好 去乘以A的转置

那么根据分块矩阵的乘法

我们可以把它写成B转置去乘以A的转置

bp转置乘以A的转置

这些是行向量

那么我们要有AB的乘积的转置

等于B的转置乘以A的转置的话

我们只需要证明这里头的

每一个分量是相同

也就是说我只需要来证

(Abj)的转置等于bj的转置乘以A的转置

这个j是从1到p的

那么我们把这个bj这个列向量

它的分量记成b1j,...,bnj

我们来看

我们说, Abj这是一个列向量

它的转置以后变成一个行向量

是什么呢

A和bj相乘就是一个矩阵去乘一个列向量

它等于这个矩阵A的列向量a1到an的线性组合

组合系数是bj这个向量的分b1j,...,bnj

好 它们合在一块去做转置

刚才由转置的性质里头我们知道

转置运算和数乘和加法可以交换次序

那我也就说

我这些向量的线性组合去做转置

等于这个转置乘到这个向量里头来

等于b1j乘以a1的转置

一直加到bnj乘以an的转置

那么好,这是利用了转置的线性性

那下面这个式子呢

我们又可以表达成是

b1j到bnj和a1的转置到an的转置去做相乘

那你可以通过分块矩阵的乘法来看

也可以通过,说我是行向量

a1转置,...,an转置的线性组合

这种角度上来看

总之, 这个就是bj这个列向量的转置

那么这边呢

就是A这个矩阵的转置

于是我们这个就有了

有了这个以后

我们就有AB的转置等于B的转置乘以A的转置

当然我们在这里头充分利用了矩阵和向量的乘法

以及两个矩阵乘法的定义

如果我们利用两个矩阵乘积元素的公式的话

我们也很容易可以通过另外一种方式来证明

设A是一个m乘n的矩阵

B是一个n乘p的矩阵

那么AB乘积的转置

这个矩阵它的第ij个分量是什么呢

我们根据转置这个性质呢

我们就知道它等于原来AB这个矩阵的第ji的分量

再根据乘积矩阵的分量元素的公式

我们知道

是等于,第一个矩阵的第j行第k列

再乘以第二个矩阵的第k行第i列

那么k去求和

所以是ajk,bki相乘再求和, k从1到n

而B的转置乘以A转置这个矩阵呢

它的第ij个分量是什么呢

它等于第一个矩阵的第ik个分量

乘以第二个矩阵的第kj个分量

k去求和

再根据转置的性质

B的转置的第ik分量呢

就是原来B矩阵的第ki个分量

A的转置的第kj个分量

是A这个矩阵的第jk个分量

所以我们说这个分量是等于

bkiajk k从1到n

我们对比一下

我们说这两个是相等的

那么我们知道了

(AB)的转置等于B的转置乘以A的转置

它的每一个分量都相等

所以这两个矩阵就相等

从这个结论里头我们可以知道什么事情?

我们可以知道

一堆矩阵A1,A2,...,Ak矩阵的乘积的转置

是等于次序换一下

等于最后一个矩阵的转置这样去乘

乘到A2的转置

乘以A1的转置

这个和乘积矩阵的逆矩阵的次序是一样的

都是把原来因子的次序翻回来

若干个矩阵的乘积的转置

等于它转置的乘积相乘的次序相反

矩阵的转置有一些个应用

我们看一下

在内积方面的应用

我们设这个x,y是两个n维的向量

那么xy做点积

或者我们说叫做内积

它等于什么呢

它可以用我们讲的转置来描述

我们说x和y做点积

它是等于对应的分量相乘再相加,i从1到n

那么可以把它写成是

x是一个列向量

它的转置是一个行向量

去跟y这个列向量相乘

那么也可以把它写成是

y去做转置,变成一个行向量

和x作为矩阵去相乘

这个是相等的

所以我们可以借助于转置来给出点积

或者叫内积的一种表达式

简单的例子

两个向量(1 2 3)和(3 2 1)去做点积

那么它可以等于(1 2 3)

做了转置变成行向量

和(3 2 1)这个列向量相乘

或者是说(3 2 1)这个列向量

去做一下转置变成行向量(1 2 3)去相乘

那么对应分量相乘再相加

等于10

我们设A是一个m乘n矩阵

x是一个n维的向量

y是一个m维的向量

我们很容易通过转置的性质知道下面的事情

(Ax)的转置乘以y

那么根据乘积矩阵

我们把这个x看成是一个特别的矩阵

那么乘积的矩阵的转置

是等于转置的乘积,次序交换

我们再利用结合律

把这个A的转置和y放在一起

我们就得到右手边

x的转置去乘以(A的转置乘以y)

那么利用刚才我们内积的写法

这件事情就可以写成是

Ax和y去做点积

等于x和(A的转置y)去做点积

或者叫做内积

好 我们说给定了A之后

A的转置就可以看成是

对上面的任意的n维向量x

任意的m维向量y

所成立的那个矩阵

我们说忘记我们一开始说

给的转置的定义

我们把A的行和列去做一下交换

互换得到的矩阵

我们叫做是A的转置

那么如果我们不管纯代数的这种定义

我们从这里头来看

我们说A的转置是什么呢

就是使得这个式子

对于任意的x,任意的y

都成立的那个矩阵

那这个性质将来还可以做推广

有了转置的定义之后

我们可以定义两类特殊的矩阵

一个矩阵A它如果等于它的转置

我们把这个矩阵叫做是对称矩阵

那么如果一个矩阵A它等于负的转置

这个矩阵叫反对称矩阵

这两个是自然的定义出来的矩阵

它们将来会有重要的作用

我们举例子来看

A这个矩阵 2 3 3 4

它是一个对称阵

那D呢是一个对角阵

对角阵是一类特殊的对称阵

那B这个矩阵 0 2 -2 0

这是一个反对称矩阵

我们知道对称阵或反对称阵

它一定是个方阵

下面呢

我给一个m乘n的矩阵

那它一定不会是一个对称阵

可是我们有办法构造出对称阵

我们看下面一个有意思的性质

R是一个m乘n的矩阵

我们来看R乘以R的转置

R是一个m乘n的矩阵

那R的转置就变成一个n乘m的矩阵

他们两相乘

得到一个m乘m的矩阵

并且这个矩阵是一个对称矩阵

我们来看

R乘以R的转置

再去做转置

那么根据乘积矩阵转置的性质

等于转置矩阵的乘积

但次序要交换

等于R转置的转置去乘以R的转置

R的转置的转置等于它自己

再乘以R的转置

于是R乘以R的转置

是一个m阶的对称阵

同理, R的转置乘以R呢

它也是一个对称阵

它是一个n乘n的

因为R的转置是一个n乘m的

R是一个m乘以n的

因此他们俩的乘积是一个n阶的矩阵

那有意思的事情是说

对这两个对称矩阵而言

我们来看它的对角元

R乘R的转置这个对角元

我们来看第ii个位置

那么根据乘积矩阵的元素的公式

我们说它等于

R这个矩阵

第一个矩阵它的第ik个分量

去乘以第二个矩阵它的第ki个分量

k是从1到n

那么我们知道

转置矩阵它的ki个分量

是等于原来矩阵R它的ik个分量

所以我们用小写字母记它的元素

那等于rik的平方

k是从1到n的

所以对于RR的转置

它的对角元是一个非负的

同理R的转置乘以R

它的对角元我们叫jj个分量

是等于R的转置这个矩阵的第jl个元素

去乘以R的第lj个元素

那么这个l是从1到m

同样的R的转置的jl分量

是等于原来R这个矩阵的lj分量

所以是rlj的平方

l是从1到m

因此对于R转置乘以R这个矩阵

它的主对角元也是非负的数

并且大家注意到

这地方有意思的是说

我把这两个矩阵所有主对角元加起来

RR的转置它是一个m阶的矩阵

所以i是从1到m的

我们加在一起

i从1到m

k从1到n

rik的平方

那R的转置乘以R

这个矩阵是一个n阶的矩阵

我把它所有的对角元加在一起

那么j从1到n

l从1到m

2平方lj

我们发现尽管这两个对称阵它的阶数不同

但是它对角线上元素的和是相等的

我们一个矩阵对角元的和

叫做这个矩阵的trace

或者叫这个矩阵的迹

这两个矩阵的trace是相等的

这是有意思的性质

我们来看例子

R这个矩阵是一个两行三列的矩阵

它的转置变成一个三行两列的矩阵

R去乘以R的转置

是一个2乘2的对称阵

R的转置乘以R是一个3乘3的矩阵

我们来看下对角元

R乘以R的转置对角元是5 2

都是非负的

R的转置乘以R对角元是1 5 1

也是非负的

并且我们发现R乘以R的转置

对角元的和

5加2等于7

R的转置乘以R这个矩阵

它对角元的和

等于1加5加1等于7

这两个数是相等的

以后会讨论到一个矩阵的迹

是一个很重要的不变量

在这节课里

我们对m乘n矩阵定义了加法和数乘运算

我们发现所有的m乘n矩阵

在加法数乘运算下构成一个向量空间

我们重点讨论了矩阵的乘法以及性质

对方阵定义了方幂运算

引入了矩阵的转置运算

下节课我们将进一步讨论矩阵的逆运算

好 这节课就到这里