当前课程知识点：线性代数(1) > 第四讲 矩阵的运算 > 4.8 矩阵的转置 > 4.8 矩阵的转置
接下来我们看一下矩阵的转置
我们一个m乘n的矩阵A
m行n列,它的行和列互换
得到一个新的矩阵
这时候我们记成是aji
它变成是有n行m列
我们把它称为是A的转置
我们看例子
A是这样的一个矩阵
是一个两行三列的一个矩阵
我们把这个A的第一行换成它的第一列
它的第二行换成第二列
得到这个A的转置
那B是一个2乘2的矩阵
那B的转置仍然是一个2乘2的矩阵
那么第一行换成第一列
第二行换成第二列
C是一个下三角矩阵
它是一个3乘3的一个下三角矩阵
它的转置呢
它的第一列换成第一行
第二列换成第二行
第三列换成第三行
那么变成一个3乘3的上三角矩阵
那D是一个对角阵
那它的转置还是一个对角阵,是它自己
从转置的定义里头我们很容易看到
转置具有下面的性质
一个矩阵的转置再做转置,是等于它自身
两个矩阵相加再做转置呢,是等于转置的和
对任意的数k
（kA）的转置
等于k乘以A的转置
两个矩阵乘积去做转置
这个性质有点比较要紧
那么两个矩阵乘积的转置
是等于第二个因子B的转置
去乘以第一个因子A的转置
那么前面三条性质
很容易可以从定义里头看出来
第四条性质我们来证一下
我们设这个A呢
它是一个m乘n的一个矩阵
那么我们把它的列向量记成a1到an
那B和A要能相乘
B的这个行数要等于A的列数
所以都是n
我们把它的列数记成是p
B是一个n乘p的矩阵
我们把它的列向量记成b1到bp
那么AB乘积的转置
AB乘积可以看成是A和B的列向量去做相乘
得到Ab1,...,Abp
然后做转置
做转置之后呢
这些个列向量现在就化成行向量
那么是Ab1这个列向量的转置
Abp这个列向量的转置
好 那么B的转置乘以A的转置是什么呢
我们把B的转置,它的行向量拿出来
那么它的行向量
是原来B的列向量做转置得到的
好 去乘以A的转置
那么根据分块矩阵的乘法
我们可以把它写成B转置去乘以A的转置
bp转置乘以A的转置
这些是行向量
那么我们要有AB的乘积的转置
等于B的转置乘以A的转置的话
我们只需要证明这里头的
每一个分量是相同
也就是说我只需要来证
(Abj)的转置等于bj的转置乘以A的转置
这个j是从1到p的
那么我们把这个bj这个列向量
它的分量记成b1j,...,bnj
我们来看
我们说, Abj这是一个列向量
它的转置以后变成一个行向量
是什么呢
A和bj相乘就是一个矩阵去乘一个列向量
它等于这个矩阵A的列向量a1到an的线性组合
组合系数是bj这个向量的分b1j,...,bnj
好 它们合在一块去做转置
刚才由转置的性质里头我们知道
转置运算和数乘和加法可以交换次序
那我也就说
我这些向量的线性组合去做转置
等于这个转置乘到这个向量里头来
等于b1j乘以a1的转置
一直加到bnj乘以an的转置
那么好,这是利用了转置的线性性
那下面这个式子呢
我们又可以表达成是
b1j到bnj和a1的转置到an的转置去做相乘
那你可以通过分块矩阵的乘法来看
也可以通过,说我是行向量
a1转置,...,an转置的线性组合
这种角度上来看
总之, 这个就是bj这个列向量的转置
那么这边呢
就是A这个矩阵的转置
于是我们这个就有了
有了这个以后
我们就有AB的转置等于B的转置乘以A的转置
当然我们在这里头充分利用了矩阵和向量的乘法
以及两个矩阵乘法的定义
如果我们利用两个矩阵乘积元素的公式的话
我们也很容易可以通过另外一种方式来证明
设A是一个m乘n的矩阵
B是一个n乘p的矩阵
那么AB乘积的转置
这个矩阵它的第ij个分量是什么呢
我们根据转置这个性质呢
我们就知道它等于原来AB这个矩阵的第ji的分量
再根据乘积矩阵的分量元素的公式
我们知道
是等于,第一个矩阵的第j行第k列
再乘以第二个矩阵的第k行第i列
那么k去求和
所以是ajk,bki相乘再求和, k从1到n
而B的转置乘以A转置这个矩阵呢
它的第ij个分量是什么呢
它等于第一个矩阵的第ik个分量
乘以第二个矩阵的第kj个分量
k去求和
再根据转置的性质
B的转置的第ik分量呢
就是原来B矩阵的第ki个分量
A的转置的第kj个分量
是A这个矩阵的第jk个分量
所以我们说这个分量是等于
bkiajk k从1到n
我们对比一下
我们说这两个是相等的
那么我们知道了
(AB)的转置等于B的转置乘以A的转置
它的每一个分量都相等
所以这两个矩阵就相等
从这个结论里头我们可以知道什么事情?
我们可以知道
一堆矩阵A1,A2,...,Ak矩阵的乘积的转置
是等于次序换一下
等于最后一个矩阵的转置这样去乘
乘到A2的转置
乘以A1的转置
这个和乘积矩阵的逆矩阵的次序是一样的
都是把原来因子的次序翻回来
若干个矩阵的乘积的转置
等于它转置的乘积相乘的次序相反
矩阵的转置有一些个应用
我们看一下
在内积方面的应用
我们设这个x,y是两个n维的向量
那么xy做点积
或者我们说叫做内积
它等于什么呢
它可以用我们讲的转置来描述
我们说x和y做点积
它是等于对应的分量相乘再相加,i从1到n
那么可以把它写成是
x是一个列向量
它的转置是一个行向量
去跟y这个列向量相乘
那么也可以把它写成是
y去做转置,变成一个行向量
和x作为矩阵去相乘
这个是相等的
所以我们可以借助于转置来给出点积
或者叫内积的一种表达式
简单的例子
两个向量(1 2 3)和(3 2 1)去做点积
那么它可以等于(1 2 3)
做了转置变成行向量
和(3 2 1)这个列向量相乘
或者是说(3 2 1)这个列向量
去做一下转置变成行向量(1 2 3)去相乘
那么对应分量相乘再相加
等于10
我们设A是一个m乘n矩阵
x是一个n维的向量
y是一个m维的向量
我们很容易通过转置的性质知道下面的事情
(Ax)的转置乘以y
那么根据乘积矩阵
我们把这个x看成是一个特别的矩阵
那么乘积的矩阵的转置
是等于转置的乘积,次序交换
我们再利用结合律
把这个A的转置和y放在一起
我们就得到右手边
x的转置去乘以(A的转置乘以y)
那么利用刚才我们内积的写法
这件事情就可以写成是
Ax和y去做点积
等于x和(A的转置y)去做点积
或者叫做内积
好 我们说给定了A之后
A的转置就可以看成是
对上面的任意的n维向量x
任意的m维向量y
所成立的那个矩阵
我们说忘记我们一开始说
给的转置的定义
我们把A的行和列去做一下交换
互换得到的矩阵
我们叫做是A的转置
那么如果我们不管纯代数的这种定义
我们从这里头来看
我们说A的转置是什么呢
就是使得这个式子
对于任意的x,任意的y
都成立的那个矩阵
那这个性质将来还可以做推广
有了转置的定义之后
我们可以定义两类特殊的矩阵
一个矩阵A它如果等于它的转置
我们把这个矩阵叫做是对称矩阵
那么如果一个矩阵A它等于负的转置
这个矩阵叫反对称矩阵
这两个是自然的定义出来的矩阵
它们将来会有重要的作用
我们举例子来看
A这个矩阵 2 3 3 4
它是一个对称阵
那D呢是一个对角阵
对角阵是一类特殊的对称阵
那B这个矩阵 0 2 -2 0
这是一个反对称矩阵
我们知道对称阵或反对称阵
它一定是个方阵
下面呢
我给一个m乘n的矩阵
那它一定不会是一个对称阵
可是我们有办法构造出对称阵
我们看下面一个有意思的性质
R是一个m乘n的矩阵
我们来看R乘以R的转置
R是一个m乘n的矩阵
那R的转置就变成一个n乘m的矩阵
他们两相乘
得到一个m乘m的矩阵
并且这个矩阵是一个对称矩阵
我们来看
R乘以R的转置
再去做转置
那么根据乘积矩阵转置的性质
等于转置矩阵的乘积
但次序要交换
等于R转置的转置去乘以R的转置
R的转置的转置等于它自己
再乘以R的转置
于是R乘以R的转置
是一个m阶的对称阵
同理, R的转置乘以R呢
它也是一个对称阵
它是一个n乘n的
因为R的转置是一个n乘m的
R是一个m乘以n的
因此他们俩的乘积是一个n阶的矩阵
那有意思的事情是说
对这两个对称矩阵而言
我们来看它的对角元
R乘R的转置这个对角元
我们来看第ii个位置
那么根据乘积矩阵的元素的公式
我们说它等于
R这个矩阵
第一个矩阵它的第ik个分量
去乘以第二个矩阵它的第ki个分量
k是从1到n
那么我们知道
转置矩阵它的ki个分量
是等于原来矩阵R它的ik个分量
所以我们用小写字母记它的元素
那等于rik的平方
k是从1到n的
所以对于RR的转置
它的对角元是一个非负的
同理R的转置乘以R
它的对角元我们叫jj个分量
是等于R的转置这个矩阵的第jl个元素
去乘以R的第lj个元素
那么这个l是从1到m
同样的R的转置的jl分量
是等于原来R这个矩阵的lj分量
所以是rlj的平方
l是从1到m
因此对于R转置乘以R这个矩阵
它的主对角元也是非负的数
并且大家注意到
这地方有意思的是说
我把这两个矩阵所有主对角元加起来
RR的转置它是一个m阶的矩阵
所以i是从1到m的
我们加在一起
i从1到m
k从1到n
rik的平方
那R的转置乘以R
这个矩阵是一个n阶的矩阵
我把它所有的对角元加在一起
那么j从1到n
l从1到m
2平方lj
我们发现尽管这两个对称阵它的阶数不同
但是它对角线上元素的和是相等的
我们一个矩阵对角元的和
叫做这个矩阵的trace
或者叫这个矩阵的迹
这两个矩阵的trace是相等的
这是有意思的性质
我们来看例子
R这个矩阵是一个两行三列的矩阵
它的转置变成一个三行两列的矩阵
R去乘以R的转置
是一个2乘2的对称阵
R的转置乘以R是一个3乘3的矩阵
我们来看下对角元
R乘以R的转置对角元是5 2
都是非负的
R的转置乘以R对角元是1 5 1
也是非负的
并且我们发现R乘以R的转置
对角元的和
5加2等于7
R的转置乘以R这个矩阵
它对角元的和
等于1加5加1等于7
这两个数是相等的
以后会讨论到一个矩阵的迹
是一个很重要的不变量
在这节课里
我们对m乘n矩阵定义了加法和数乘运算
我们发现所有的m乘n矩阵
在加法数乘运算下构成一个向量空间
我们重点讨论了矩阵的乘法以及性质
对方阵定义了方幂运算
引入了矩阵的转置运算
下节课我们将进一步讨论矩阵的逆运算
好 这节课就到这里
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
