当前课程知识点：线性代数(1) > 第三讲 高斯消元法 > 3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵 > 线性代数03++3.2.3初等行列变换和初等矩阵
那么 我们接下来看一下
我们刚才是对方程组
Ax等于b做消元法
我们知道它涉及到以下的三种
同解变形
我们把一个方程减去
另一个方程的倍数
或者呢是交换两个方程
或者呢我们悄悄用了这一点
用一个非0的数去乘以一个方程
那我们再回代来解方程的时候
要用到这一点
那这三种变形呢
都不改变原来方程组
Ax等于b的解
我们叫做同解变形
那相应的这个是对
我们的系数矩阵A
和常数向量b
来做所谓的初等行变换
什么样的行变换呢
一对应的是说
我们把A和b
构成的这个大的矩阵
它的一行减去另一行的倍数
或者是交换两行
或者是用一个非0的数
去乘以一行
那么这样的变换
我们就叫做
是相应的初等行变换
我们由单位矩阵
经过一次初等行变换得到的矩阵
我们就叫做是初等矩阵
这样的初等矩阵是什么样子呢
我们用简单的例子来看
3乘3的情况 单位矩阵
如果我们用第二行
减掉第一行的l倍
那我变成了这个矩阵
这个矩阵就是我们之前
用到的这个消去矩阵
那我们把它记成21这个位置上
因为有负l
我们记成E21-l
我们用它来表示消去矩阵
那我单位阵交换第二行和第三行
得到的这样的一个换行的矩阵
我们记作是P23
它是一类置换阵
那么单位阵的第二行
去乘以一个非0的数c
那我们记成是D2c
那刚才说对这个矩阵A和b
由系数矩阵A和常数向量b
构成的这样的一个大的矩阵
来做初等行变换的过程
就相当于是说
对它来左乘以一个初等矩阵
上面这三类初等矩阵
消去矩阵 换行矩阵
或者是一行去乘以
一个非0数的这种矩阵
就相当于是用E
去在左边乘以这样的一个大矩阵
那么是说E去乘以A
E去乘以b
对线性方程组Ax等于b做消元法
事实上呢
就是对系数矩阵A
和这个常数向量b来做消元
或者是换行
那么我们把这个由系数矩阵A
和常数b构成的这个大的矩阵
叫做是增广矩阵
那么解线性方程组的过程
就是对这个增广矩阵
来做一系列的变化的过程
我们来看下面这个简单的例子
这是我们的Ab构成的增广矩阵
这是我的Ab
那这个例子是在前面的例3.5中
做一次换行
做一次第一步消元之后
增广矩阵的变换
那我这里头默认已经用了结合律
那我们先用P12去乘以增广矩阵
好 那么效果是什么呢
P12去乘以增广矩阵
是把增广矩阵的第一行和第二行
做交换
然后再去做一个消去的过程
那就是说在这个矩阵的基础上
我第三行减掉第一行
这两类初等矩阵去乘以增广矩阵
那么这一步
大家可以对照一下例3.5
这是我们做了换行和消元之后
增广矩阵得到的这个效果
那小结一下
说对线性方程组Ax等于b
消元的过程就是用
一系列的初等矩阵
左乘增广矩阵的过程
我们再来看一个简单的例子
我们E21矩阵是一个消去矩阵
它是单位阵的第二行
减掉第一行的4倍
P32这个矩阵是一个换行的矩阵
单位矩阵的第二行和第三行
来交换次序
然后A是一个三阶的矩阵
我们说E21去左乘以A
这个前面已经讲过
它相当于把A的第二行
减掉第一行的4倍
P32这个矩阵左乘以A
相当于A这个矩阵的第二行
和第三行交换
也就是说我用这个初等矩阵
去左乘以这个矩阵A
相当于对A做相应的初等行变换
那么一个自然的问题就是说
我这个矩阵A
去右乘以这个初等矩阵
它会有什么样的效果
我们来看一下
A去乘以E21
那根据我们的这个
两个矩阵相乘的定义
那我是A分别去E21的三列
来作为乘积矩阵的列
好 这个是E21的第一列
E21的第二列 E21的第三列
好 E21的第一列被A去乘的话
那么我们根据这个矩阵和向量
乘法的定义
这个得到的是A的第一列
减掉4倍的A的第二列
那么就是这个A的第一列
减掉4倍的A的第二列
这是乘积矩阵的第一列
好 A去乘以0 1 0
那么得到的是A的第二列
A去乘以0 0 1
得到的是A的第三列
我们来看这个结果
那这个结果呢
是说我A去乘以E21
这个消去矩阵之后
它就等于A的第一列
减去第二列的4倍
那相当于是对A的列
去做了相应的变换
那么P32这个换行矩阵
从右边去乘以矩阵A
是什么样子呢
好 A去乘以P32的第一列
乘以第二列 乘以第三列
来作为乘积矩阵的一二三列
那A去乘以1 0 0呢
拿出的是A的第一列
A去乘以0 0 1
得到的是A的第三列
A去乘以0 1 0
得到的是A的第二列
所以A去乘以P32这个矩阵之后
得到的是
A的第二列与第三列交换
那么这是一件普遍的事实
就是说我一个矩阵
去乘以初等矩阵
左边相乘是相当于
行在做相应的初等行变换
右边去相乘相当于
我对列去做相应的初等变换
我们小结一下
叫做左乘换行右乘换列
在这节课里
我们讨论了求解线性方程组的
系统解法 高斯消元法
那么我们发现对
线性方程组进行消元的过程
实际上是用一系列的消去矩阵
或者是置换矩阵这类初等矩阵
所乘增广矩阵的过程
我们利用矩阵与向量的乘法
引入了矩阵的乘法运算
在下一节课
我们将更全面的
来介绍矩阵的运算
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
