当前课程知识点:线性代数(1) > 第三讲 高斯消元法 > 3.1 Gauss消元法(下) > 3.1 Gauss消元法(下)
消元法什么时候可能会停止
我们接着刚才的例3.1
简单的具有两个未知量
两个方程的线性方程组
再接着看相似的例子
那么这个新的例子呢
第一个方程保持不变
还是x-2y=2
第二个方程稍做改变
变成3x-6y=16
我们确定第一个方程
第一个未知量x的系数
1是第一个主元
我们同样地做消元的过程
我们用第二个方程
减掉第一个方程去乘以乘数3
消掉第二个方程里头关于x的项
那么我们发现第二个方程
这时候变成0=10
而这时候它没有第二个主元
那么很明显在这种情况下
方程组是没有解的
如果在消元的过程中
出现了0等于一个非0数的
这种情况
那么消元法就终止
而且在这种情况下呢
我们的线性方程组无解
再来看一个简单的例子
第一个方程我们保持不变
第二个方程呢变成3x-6y=6
同样我们利用第一个主元
去消第二个方程里头x的系数
那么我们把第二个方程减掉
第一个方程的3倍
我们得到了
第二个方程这时候变成是0=0
那么在这种情况下
我们的第一个方程就可以改写成是x=2+2y
所以对任意给定y的值
我们x就相应的会有一个值
所以这时候呢
我们说这个方程组
是有无穷多个解
那么我们小结一下
我们说消元的过程中
如果出现了0=C
0等于一个非0数
或者是0等于0
这时候消元法就终止
当出现0等于一个非0数C的时候
方程组是没有解的
当出现0=0的时候
它可能是没有解
也可能是有无穷多解
总的来说
线性方程组解的情况一共有三种
有唯一的解 没有解
或者是有无穷多个解
那对刚才的三个简单的例子
我们从行图和列图的角度上
再来看看它有唯一解 无解
和有无穷多解的情况是怎么样的
我们最初的例子x-2y=2
3x+4y=16
我们说它有唯一解
我们从行图的角度上来看
那么x-2y=2
第一个方程和第二个方程
3x+4y=16
它们分别表示的是二维平面上的
两条直线
这两条直线我们发现是相交的
它们交与唯一的一个点(4, 1)
(4, 1)这个点的坐标
就给我们这个方程组的唯一解
如果从列图的角度上来看
我们第一列向量
系数矩阵的第一列向量(1, 3)
和系数矩阵的第二列向量(-2, 4)
那么是在二维平面上
两个不共线的向量
两个列向量不共线
所以它能够线性组合出
任何一个二维平面上的向量
特别的可以给2和16
这个常数向量一种线性组合
我们知道这个时候x是等于4
y是等于1
那从行图和列图的角度上
我们来看这个线性方程组
的确是有唯一的解
我们的另外的一个例子呢
x-2y=2 3x-6y=16
我们通过消元法知道它没有解
那从行图的角度上来看
x-2y等于2和3x-6y等于16
是两条平行的直线
这两条平行直线没有交点
从行图的角度上来看
因为这两条直线没有交点
所以线性方程组没有解
那么从列图的角度上来看呢
我们系数矩阵的两个列向量
1和3 (1, 3)和(-2, -6)
这两个列向量是共线的
那么常数向量(2, 16)呢
是不在这两个共线的向量
所在的这条直线上
所以(2, 16)这个常数向量
没有办法被系数向量(1, 3)
(-2, -6)给线性组合出来
所以从这个角度上来看
线性方程组没有解
第三个例子里头
x-2y=2 3x-6y=6有无穷多解
从行图的角度上来看呢
这两个方程表示的直线是重合的
我们第一个方程
第二个方程
它们表示是重合的直线
所以这两条直线
具有无穷多的交点
所以方程组有无穷多解
从行图的角度上来看
我们线性方程组有无穷多解
那么从列图的角度上来看
系数矩阵的列向量(1, 3)
和(-2, -6)它们是共线的
而我们的常数向量(2, 6)
也是在长在这条直线上
所以常数向量它有无穷多的
用系数向量(1, 3)
和(-2, -6)的表达方式
比如它可以写成
0乘以(1, 3)再减掉(-2, -6)
或者呢它可以写成是
2乘以(1, 3)再加上0乘以(-2, -6)
因此它有无穷多解的
那我们从行图和列图的角度上
重新来看了
对于一个线性方程组而言
它可能出现的情况有唯一解
有没有解
或者是有无穷多解
还有一种情况
消元法看似是终止
但是我们只要换一下行
就可以继续进行
我们看下面这一个例子
第一个方程是y-z=3
那么在这个方程里头呢
它关于第一个未知量
x的系数是0的
那我们看似在第一行
第一个未知数的位置上
第一个主元位上
系数是等于0的
那么看似没法由这个主元位置
出发去消元
但是由于后面的方程
它关于x的系数是非0的
那我们在消元之前
可以先把第一个方程
与第二个方程来交换位置
从而使得在第一主元位置上
有一个主元
于是在第一行
和第一个未知量x的
第一主元位置
我们有 现在有了第一主元
那接下来的过程跟刚才类似
我们利用这个第一主元去做消元
第二个方程没有x的系数
所以不需要来消
我们第三个方程
减掉第一个方程乘以乘数1
这是我们的乘数2 3 1
那么消掉x的项
然后呢
在第二个方程
第三个方程里头
我们确定就是第二主元
然后由它来消它下方的y的项
第三个方程减掉
第二个方程乘以1
从而得到-2z=-6
这是只含有一个未知量z的
单个方程
那么我们把-2 1和-2
叫做方程组的三个主元
那么由最后一个方程
我们可以求得z=3
代到第二个方程里头
我们求得y=6
代到第一个方程里面去
我们求得x=10
从而得到原来的线性方程组
有唯一的解
那注意到在求解这个
线性方程组的过程中
我们做的事情是换行
或者叫换方程 消元 回代
那下面呢是用矩阵形式
来描述刚才做的过程
这是我们的系数矩阵
因为在第一行
第一列第一主元的位置上是0
所以我们需要换一下行
我们把第一行
和第二行做一下交换
一个换行的过程
于是我们可以确定
我们的第一主元
我们由它来消
主元下方的其他系数
那么把其他系数消成0
然后我们确定第二主元
我们由第二主元
来消它下方的系数
那么从而得到三个主元
那我们再通过回代的过程
确定出方程组有唯一的解
三个方程 三个未知量
有三个主元
从而有唯一的解
那上述求解过程中
它可以其实推广到
含有n个未知量
n个方程的情况
其实也可以适用于
含有n个未知量
m个方程的情况
那么想法是一样的
我们以后会再谈到这一点
总结一下
高斯消元法的具体步骤
如果方程组的第一个主元位置上
是等于0
那么我们就交换方程
以得到第一个主元
我们有了第一个主元之后
就可以用第一个方程的倍数
消去第一个主元下方的
所有的系数
那么我们就可以确定第二个主元
继续以上的消元过程
最后我们得到含有一个
未知量的方程
求解这个方程回代到原来的
其他方程里头去
可以得到方程组的解
我们注意到如果n个方程
有n个主元的话
这个方程组是有唯一解的
而消元法终止呢
也就是说出现0等于C
C是一个非0数
或者是0等于0的这种情形的时候
消元法终止
这时候方程组没有解
或者是有无穷多解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法(上)
-3.1 Gauss消元法(下)
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用:曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告