当前课程知识点：线性代数(1) > 第四讲 矩阵的运算 > 4.7 分块矩阵 > 4.7 分块矩阵
接下来我们看一下分块矩阵
处理大阶的矩阵运算的时候
我们常常转化成借助
小的矩阵的运算
那么怎么转化呢
我们把这个矩阵用纵线 横线
分成若干小块
每一小块我们叫做矩阵的子块
分为子块的这种矩阵
我们就叫做是分块矩阵
我们来看这个下面的简单的例子
A本来是一个三行四列的一个矩阵
我们来做这样的分块
我们用纵线和横线
把矩阵分成四块
它有四个小块
我把A11呢
叫做左上角的这个矩阵
然后A12呢是0 -2这个矩阵
A21呢是3 1 -1这个矩阵
A22是3这个块
那我们就可以把A这个矩阵
记成A11 A12 A21 A22
我们叫做它是一个分块矩阵
我们之前其实已经
遇到过这个分块矩阵
我们在求解线性方程组
Ax等于b我们用过增广矩阵
增广矩阵呢
我们就可以看成
它是两个子块的分块矩阵
消元的时候
我们直接去左乘初等矩阵E
那我们其实是对这个分块矩阵
在一起做变换
我们E(A b)就等于(EA Eb)
那么右手边这也是分块矩阵
我们在做分块矩阵的乘法
对于分块矩阵呢
我们也可以定义加法运算
两个矩阵A和B
它们要有相同的行数和列数
才能够相加
它们作为分块矩阵做加法呢
我们必须要对它做
同样的分块
那么相应的块相加
我们就得到作为分块矩阵的A+B
那分块矩阵呢也可以做数乘
数乘就是说我对每一个小块
我都用这个数去相乘
这个自然地就得出来
分块矩阵的数乘
分块矩阵A和B可以相乘的话
首先本来作为原来的矩阵
要可乘
而且呢，它A的这个列的划分
与B的行的划分要一致
我们现在看这个例子
A是这样的一个三行五列的矩阵
它做成一个分块矩阵
分成四块
记成A11 A12 A21 A22
那么这个3乘5的矩阵
B一定是要是个五行
因为它的行数要跟
A的列数要一致
它是一个两列的一个矩阵
好A和B现在是可以相乘
如果我们作为分块之后
A分成了两行两列
那么B呢一定它也要
得出来是两行
所以我们做这样的分行
等于有两行有一列
那AB的乘积可以被写成
下面的表达式
A是A11 A12 A21 A22
这个形式上是两行两列
B是由两行一列
这种分块矩阵的乘法呢
是按照通常的行列法则去相乘
那么等于A11B1加上A12B2
A21B1加A22B2
那么我们去相乘我们得到
上面的这个部分这个分块矩阵
是得到-4 23
-4 -1
那么下面的这部分呢
我们得到-3 6
那在AB乘积表达式中的
子块的乘积
我们每一项应该是要把来自于
这个A的子矩阵要写在左边
因为矩阵的乘法不可交换
所以这个次序一定要注意
我们来看一下A11乘以B1
那么A11是我们1 0 3
-1 2 0
B1呢是1 4 -1 1
1 7
那么这是两行三列
这是三行两列
作为子块你也要能够相乘
我们可以得到它是4 25 -3 -2
A12同样A12这个矩阵乘以B2
2 -4 1 -1
这是一个2乘2的矩阵
去乘以2 3 3 2
这个2乘2的矩阵
那么它等于-8 -2 -1 1
因此呢这个AB的这个块
它等于A11B1加A12B2
等于这样的两个矩阵相加
从这个例子里头我们可以看到
分块矩阵A和B可以相乘
它A的列的划分与B的行的
划分要一致
我们要保证块在做乘法的时候
也能够进行
从这个分块矩阵的这个乘法里头
我们还可以得到
对矩阵乘法的一个新的理解
矩阵乘法它的列行展开
我们来看如果设A是一个
m乘n的矩阵
B是一个n乘p的矩阵
那A的列数和B的行数相同
所以它可以相乘
我们把A呢
用它的列向量表示出来
它一共有n列
把B呢用它的行向量表示出来
它一共有n行
那么我们把它视为是分块矩阵
去相乘的话
等于a1b1 a2b2再加上anbn
那这是我AB的乘积
这是A的列向量
和B的行向量去相乘
那么注意到这里头这个aibi呢
它不是一个数
因为我们的ai是A的第i列
所以它是m行一列的一个矩阵
然后bi呢是B的第i行
因此它是一个一行p列的
一个矩阵
那么乘出来之后
它是一个m行p列的一个矩阵
m乘p矩阵
所以从这里头可以看得出来
我从分块矩阵的角度上
我两个矩阵相乘
我可以理解成第一个矩阵的列
去乘以第二个矩阵的行
然后我对应的加起来
我们看一下下面的例子
我们设这个A呢
是1 4 1 5
这样的一个2乘2的矩阵
B是1 0 1 0 1 -1
这样的一个2乘3的矩阵
那我们用刚才
这种列行相乘的原理
我们A的
这是第一列a1
这是A的第二列
这是B的第一行 B的第二行
A的第一列和B的第一行
乘起来
再加上A的第二列和B的第二行
乘起来我们得到下面的结果
那么这个1 4 -3
1 5 -4是我们AB的乘积
它是一个两行三列的一个矩阵
我们之前用行列相乘的时候
AB的乘法可以理解成是1 4
1 0 1 4 0 1
1 4 1 -1
这也是用了十二次乘法
和六次加法
这是行列相乘
这儿是列行相乘十二次乘法
六次加法
我们当矩阵太大的时候
不适宜存储在
高速计算机的内存里头
这时候分块矩阵
就允许计算机一次处理
几个子矩阵
那当把这个矩阵分块之后
再进行矩阵计算的时候
有时候会更加有效
这是分块矩阵
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
