当前课程知识点：线性代数(1) > 第二讲 矩阵与线性方程组 > 2.1 矩阵与向量的乘积 > 2.1 矩阵与向量的乘积
从历史上看
矩阵正式作为数学中的研究对象
是在行列式的研究发展起来之后
英国数学家凯勒被公认是
矩阵论的奠基人
他提到矩阵的出现
或是在行列式的发展之后
或是作为描述线性方程组的
简便方法而来的
那这节课我们就从描述
线性方程组的角度来引入矩阵
我们看下面的这个例子
这样的一个方程组
x1加上x2减x3等于1
2倍的x1加x3等于3
2倍的x2加x3等于3
我们根据上节课的内容
可以把这个方程组改写成
这个常数向量1 3 3
等于系数向量1 2 0 1 0 2
-1 1 1的线性组合的样子
我们把系数向量120记成是u
102记成v
-1 1 1记成是w
我们把u v w作为列的向量
组成3乘3的这样的一个数表
我们记成是A
我们把它叫做是一个矩阵
我们把x1 x2 x3做成一个向量
我们记成是x
那我可以把上面的这种
线性组合的表达形式
表示成下面的形式
Ax等于1 3 0 1 3 3
A就是由列向量u v w
构成的一个3乘3的数表
所谓的一个矩阵
Ax等于u v w构成的这个矩阵
去乘以x1 x2 x3所做成的向量
未知向量
那么它的意思是什么呢
通过这个表达方式
我们知道它就等于x1去乘以u
加x2去乘以v
再加上x3去乘以w
也就是说
我们对于矩阵A它与向量x的乘积
我们令它是等于矩阵的列向量
u v w的线性组合
这是矩阵与向量乘积的
一种定义方式
那么上面的这个方程组
我们还可以表示成下面的样子
我们可以把它等式的左边
方程的左边可以看成是1 1 -1
和x1 x2 x3去做点积
等于右手边的1
第二个方程呢可以看成是
2 0 1去点积上x1 x2 x3
等于3
那么第三个方程呢
我们可以写成是0 2 1
去乘点积上x1 x2 x3
这个未知向量等于3
这就诱导了
矩阵乘向量的另外一种定义方式
我们说这个矩阵
如果你记成一个3乘3的一个数组
它每一个元素记成a i j
也就是说a i j是第i行
第j列的这个元素我们记成是a
那么x呢
这个列向量x1 x2 x3
是一个三维的向量
于是我这个向量
我这个矩阵去乘以向量
我就定义成这个矩阵的第一行
去乘以未知向量x1 x2 x3
第二行去乘以未知向量x
点积上这个
于是呢 我这个矩阵Ax
我就等于矩阵的第一行
去点积上未知向量x
第二行去点积上未知向量x
第三行去点积上未知向量x
通过这个矩阵的行向量
去跟向量去做点积来定义出
矩阵A和x相乘的每一个分量
这是矩阵乘向量的
另外一种定义方式
通过矩阵A和x去乘积的
这上述两种定义方式
我们对线性方程组可以有
两种新的理解
我们来看
我们说这个系数矩阵
我们叫它是A的话去乘以x
等于1 3 3
那么第一种理解呢是说
我们相当于是求向量
列向量1 2 0
1 0 2和-1 1 1的线性组合
使得这个线性组合
等于常数向量1 3 3
那第二种理解呢
我们是说想要去求这个未知向量
x1 x2 x3
使得它与系列矩阵
每一个行向量1 1 -1
2 0 1和0 2 1的点积
分别是1 3 3
好 那我们这样定义了矩阵
与向量的乘积
我们通过下面这个例子来看一下
我们在平面上
所有的向量如果绕着原点O
去旋转这个theta角
那么给定的这个点P
坐标是x y
在这个旋转变化下
得到的这个像是P撇
它的坐标是x撇 y撇
我们知道x撇 y撇
用x y表达出来的式子是这样
x撇是等于x乘以cos theta
减掉y乘以sin theta
y撇等于xsin theta加上ycos theta
那么这样的一个关系式
我们可以用矩阵
和向量的乘法表示出来
也就是说我x撇y撇是等于
cos theta减sin theta
sin theta cos theta构成的这样一个矩阵
去乘以向量x y
我们注意的是
就是这节课里头
我们涉及到的矩阵
都是行数与列数相同的矩阵
也就是说
我们涉及到的都是所谓的方阵
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
