当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十讲 矩阵的对角化 > 20.3 矩阵可对角化的应用 > default
那我们接下来看看
矩阵可对角化有什么用处
我们说矩阵可以对角化的话
我们就可以快速来计算矩阵的幂
我们一个简单的例子
A等于1 0 1 -2
我们来求A的10次幂
这个矩阵是一个下三角矩阵
我们一眼看出
它的特征值是它的对角元1和-2
这是互异的特征值
所以A是可以对角化的
那么当lambda1等于1的时候
A-lambda1I是0 0 1 -3这个矩阵
那它有基础解系x1等于3 1
当lambda2等于-2的时候
A-lambda2I等于3 0 1 0
因此它有基础解系x2等于0 1
我们把这两个特征向量
作为列向量拿过来
做成这个矩阵S
那么我们一定有S逆AS
等于对角矩阵
对角线上的元素
就是A的特征值1 -2
那么由这个关系式
我们可以知道
我A就可以写成SlambdaS逆
那么A的10次幂就可以写成是
SlambdaS幂乘以SlambdaS逆
一共有10个这样的矩阵去相乘
那么根据
这个矩阵乘法的结合律
S逆都可以和S消掉成单位阵
那么就变成是
Slambda的10次幂乘以S逆
作为对角阵它的10次幂
就是对角元去求幂
1 -2的10次幂
那么左右两边分别去乘以S
和S的逆矩阵
这个是容易计算的
我们很快就算出来了A的10次幂
这是本质上
这是矩阵可对角化的
一个重要的应用
那么我们下面结合着两个例子
实际的例子来看一下
第一个例子是Markov过程
这是一个虚构的例子
每年海淀区以外的人口的10%
会迁入到海淀区
而海淀区人口的20%会迁出去
那这样就给出来一个差分方程
设最初海淀区外部的人口是p0
内部的人口是q0
那么一年以后呢
外部的人口p1就变成
外部人口的0.9
再加上内部人口0.2
那么海淀区内的人口呢
在一年之后就变成
原来p0的0.1倍再加上q0的0.8倍
那么写成矩阵形式
就是p1q1等于这样的一个矩阵
去乘以p0q0
那么我们看到这个系数矩阵
有特点它是一个Markov矩阵
那么这个虚构的人口
迁移的过程有两个特点
一个是人口总数是保持不变的
第二个海淀区外部和内部的人口
不能是负的
我们称这样的过程
叫做Markov过程
由第一个性质我们发现了
它对应着系数矩阵的
每一个列元素之和是1
对于第二个性质呢
这个矩阵的元素是非负
同样的对于p0q0 p1q1
这些数都是非负的
好 那下面我们就想来求解
这个特殊的差分方程
想看看用这样的虚构的规律
人口是否最终
达到一个稳定的状态
最后我们再对一般的Markov
过程给一个一般性讨论
这个虚构的人口迁移过程
有两个特点
第一个特点是
我们假定人口总数保持不变
第二个特点是说
海淀区外部和内部的人口数
都不能是负的
我们称这样的一个过程
为Markov过程
那么第一个特点决定了
我们矩阵的每一个列元素之和
是等于1
第二个特点呢
决定了这个系数矩阵的元素
都是非负的
同样的p0q0 p1q1等等这些数
也都是非负的
下面我们来求解
这个特殊的差分方程
再来看人口状态
是否会达到一个稳定的状态
最后我们对于Markov过程
作一个一般性的讨论
我们来记这个矩阵
系数矩阵是A
我们求它的特征多项式
A-lambdaI的行列式
我们发现是等于lambda平方
减去1.7lambda加0.7
那么求解可以得到lambda1等于1
lambda2等于0.7
这个现在我们立即可以看到
因为这是一个Markov矩阵
所以它一定有特征值是等于1
我们上节课讲过
我们再复习一下 我们说
它的每一列的和是等于1的
那么A-I这个新的矩阵
它的每一列的和是等于0的
因此它是一个不可逆的矩阵
因此它的行列式一定是等于0
那也就是说lambda1等于1
是使得A-lambda1I的行列式等于0的
这样的值
它一定是特征值
如果1是一个特征值
我们由1知道 1+lambda2
特征值的和是等于矩阵的trace
是等于对角元0.8
0.9+0.8这个等于1.7
所以我们立即也可以得到
第二个特征值应该是0.7
那我们看一下相应的特征向量
lambda1等于1的时候
A-lambda1I得到这样的一个矩阵
因此我们可以求出来
一个特征向量x1是2 1
lambda2等于0.7
A-lambda2I等于这样的一个矩阵
立即可以求出来
相应的一个特征向量是1 -1
我们把这两个特征向量
作为列向量构成矩阵S
我们就一定有A等于SlambdaS逆
这是S矩阵 这是S逆矩阵
这是对角矩阵
对角线上的元素是特征值
好了 现在我们就可以来看看
A的k次幂和k年之后
海淀区人口的分布
我们把海淀区人口的分布情况
外部的人口k年之后叫做pk
k年之后内部的人口叫qk
那么也就是uk等于Ak去乘以u0
所以A的k次幂去乘以p0q0
我们把Ak代进去
等于Slambda的k次幂乘以S逆
好 每一项现在都知道
S是这个矩阵
这是我们lambda的k次幂
对角矩阵的k次幂
等于对角元的幂次
这是相应的S逆 好 p0q0
那么就可以得到什么呢
就可以得到说
k年之后pkqk一定是等于
三分之p0加q0乘以向量2 1
再加上三分之p0减掉2q0
去乘以0.1的k次幂1 -1
这是直接计算得到的
我们从这个结果里头可以看到
经过若干年之后
这个k当很大的时候
k很大的时候
0.7的k次幂这个是变得就很小
它就会趋向于0
那么从而这个解呢
就达到一个极限状态
我们把它叫成是p无穷q无穷
它就等于三分之p0+q0 2 1
只有前面的部分
那么也就是说呢
总人口数虽然仍然是p0加q0
这是我们一开始对它的要求
与初始状态是相同的
但是在这个极限状态之下
是什么样子呢
总人口的2/3是在海淀区的外部
1/3是在内部
这个数据无论初始分布
p0和q0怎么样 它总是会成立的
我们还可以注意到
在这个状态里头
A去乘以U无穷是等于U无穷的
这个U无穷我们是记的
p无穷q无穷这个向量
也就是说这个稳定状态
是Markov矩阵A关于lambda等于1的
特征向量
好 我们在这个例子里头
本质上是说
我计算了A这个可对角矩阵
它的k次幂
那么我们得到了相应于
关于Markov矩阵的一些性质
说它总可以达到一个稳定状态
这个稳定状态对应着
特征值1的特征向量
下面这个例子呢
是Fibonacci数列
那这个数列
前面的若干个数是0 1 1
2 3 5 8 13
我们看得出来它满足下面的规律
k+2项是等于它的k+1项
加上第k项
而这个呢也是一个差分方程
那Fibonacci数列是在数学中
非常非常有趣的一个数列
那么它在自然界中也有很多应用
比如说叶子
它是按照一种螺旋的方式
长在树上
苹果树上它绕它的径
每两圈有5片叶子
这个5在这里
榆树上每3圈有8片叶子
柳树上每5圈是有13片叶子等等
那么Fibonacci数列
它在自然界中的应用
都已经被写成一本书
大家可以自己下去去看
好 那我们现在的问题是说
满足这样规律的一个数列
如何由这个初始的F0等于0
F1等于1来求出
这个数列的通项公式
也就是我们怎么样来求解
这个差分方程
好 我们把Fk+1 Fk
做成一个未知向量叫Uk
那么它满足Fk+2等于Fk+1+Fk
Fk+1等于Fk+1
我们把这件事情用向量的形式
可以表示成Uk+1
等于这样的一个矩阵去乘以Uk
我们把这个矩阵记成是矩阵A
那于是呢Uk就等于U0去被
去乘k次
也就是Uk等于Aku0
要求通项呢
我们是要去求解
这个Uk的第二个分量
那么Uk是满足A的k次幂
去乘以已知向量U0
那么只需要去求A的k次幂
还是借助于对角化
要看A是否能够对角化
我们去求解它的特征值
那它的特征多项式
A-lambdaI的行列式很容易求解出来
是lambda平方-lambda-1 它有两个根
这两个根是二分之一加根5
二分之一减根5
我们知道这个数你去算算看
它约等于1.618
这个数约等于0.618
而这是我们的黄金分割数
那这有两个不同的特征值
所以它一定可以对角化
我们去看lambda1对应的这个矩阵
A-lambda1I变成1-lambda1 1 1 -lambda1
所以以它为系数矩阵的
齐次线性方程组一定会有解
非0解 lambda1 1
那么同理呢属于lambda2的特征向量
x2是lambda2 1
于是我们就把
分别属于lambda1 lambda2
这两个特征值的特征向量
x1和x2拿过来做成矩阵S
那这个矩阵S就使得A可以对角化
SA S逆AS等于对角阵
A就等于SlambdaS逆 这个是S逆
我们就可以计算A的k次幂
那么注意到由初始值F0是等于0
F1是等于1
我们可以给出U0呢
是1 0这个向量
那Uk也就是Fk+1 Fk
它等于Ak去乘以U0
Ak是等于SlambdakS逆去乘以U0
这是S 这是lambdak
这是S逆和U0的乘积
这样Fibonacci数列Fk
就是这个乘积的第二个分量
那我发现它lambda1的k次幂
除以lambda1-lambda2
再减掉lambda2的k次幂除以lambda1-lambda2把lambda1等于二分之一加根五
lambda2等于二分之一减掉根五
代入进去就得到这个表达式
这个就是Fibonacci数列的
通项公式
大家仔细看一看这个通项公式
本来我们给出来的Fibonacci数呢
它是0 1 1 2 3 5 8 13
它的第k+2个数
一定是它前面两个数的和
它一定都会是整数
那这个结果呢从这种意义上来看
它是令人惊奇的
因为通项公式它出现了分数
出现了平方根
而我们的每一项又都是整数
所以说这个通项公式中
某些部分一定是相互抵消掉
从而才能使结果变成整数的
事实上是怎么样的呢
事实上说我们第二项的
这个根下五分之一去乘以
乘以二分之一减根五的k次幂
它总是来得比二分之一要小
它与第一项能够合并
它一定会得到一个最接近于
第一项的一个整数
也就是说Fk它是等于
最接近于第一项根下五分之一
二分之一加根五的k次幂的整数
而且我们还可以看到
这个数列中相邻两项的比值
Fk+1和Fk的比
这个k的这个比值呢
一定会接近于二分之一加上根五
这个数是约等于1.618
这就是我们的黄金分割
也就是说lambda2的k次幂
与lambda1的k次幂相比是微不足道的
Fk+1比上Fk最后是趋近于lambda1
我们刚才通过这两个例子
我们研究了由差分方程
Uk+1等于Auk所描述的
所谓离散动力系统的长期行为
也就是k趋向于无穷的时候
解的性质
那么在A可以对角化的
这种简单情况下
也就是说
我存在着一个可逆矩阵S
使得S逆AS等于lambda是对角阵
在这种情况下
那刚才的差分方程
它的解可以简单的表示出来
它的解总可以写成
Uk可以写成A的k次幂去乘以U0
而这个Ak呢
又可以由Slambdak S逆表示
我们来注意到说
S它是由x1到xn
特征向量对于列向量构成的
lambdak呢是对角矩阵
lambda1的k次幂 lambdan的k次幂
为对角元的对角矩阵
S逆u0我如果记成是c1cn
那么这是一个矩阵乘以一个向量
它得到一个向量
那这件事情也就是说是U0
我把这个叫做C的话
等于U0去乘以Sc
也就是说我u0可以由x1xn
这n个线性无关的特征向量
给线性表示出来
表示的系数是c1到cn
好 如果我们有了这样的表达式
这边是c1到cn
我们整理一下我们就得到
Uk是等于c1lambda1的k次幂乘以x1
再加上cn乘以lambdan的k次幂乘以xn
那由此可以看出
Uk的增长是由这些因子
lambdaI的这些k次幂来支配的
所以系统的离散
动力系统的稳定性
要依赖于A的特征值
那么对于一个差分方程
Uk+1等于AUk
定义的离散动力系统
当A的所有的特征值
lambdaI的绝对值来得比1要小的时候
它是稳定的
也就是说并且这个Uk
是趋向于0的
当所有的特征值
它满足lambdaI的绝对值
要小于等于1的时候
它是所谓中性稳定的
并且Uk是有界的
而至少有一个特征值
它的绝对值大于1的时候
它是不稳定的 那Uk是无界的
我们刚才例子已讨论了
Markov过程它是中性稳定
它因为一定有一个特征值
是等于1
Fibonacci数列所关系到的
离散动力系统它是不稳定的
所以那个数是会越来越大的
我们下面再给一个简单的例子
给一个稳定的离散系统的例子
我们考虑下面的差分方程
Uk+1等于AUk
这个A简单的0 8 0 1/4
这是一个上三角矩阵
它的特征值为对角元0和1/4
绝对值来得都比1要小
这个系统是稳定的 我们看一下
说由任何一个初始向量
U0出发 Uk+1 Auk的解
一定会趋向于0
那比如说U0我们取成是0 1
那么根据这个方程
那U1等于Au0
它就等于8 1/4
U2等于AU1 就等于2 1/16
U3等于AU2 就等于1/2 1/64
我们可以看到从U2出发
U2是等于AU1 它等于
和前面的U1去做比较
我们发现它等于1/4U1
那U3是等于AU2 这是定义
我们发现这个是等于1/4的U2
而U1等于AU0
它的实际作用
是我们把U0分解成
A的两个特征向量的和
U0可以写成32 1 -32 0
那么AU0呢 就把属于
lambda等于0的这个特征向量
-32 0给化成0
然后把属于
lambda等于1/4的特征向量
32 1给乘以1/4
AU0等于1/4去乘以32 1
再加上0去乘以-32 0
那么等于8 1/4 这是U1
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
