当前课程知识点：线性代数(1) > 第五讲 矩阵的逆 > 5.5 矩阵可逆与主元个数 > 5.5 矩阵可逆与主元个数
由高斯-若当消元法求逆的过程
还可以得到下列判断矩阵可逆的一个方法
也就是矩阵可逆与主元个数的一个关系
n阶的矩阵A是可逆的 等价于A有n个主元
注意到我们其实对这个命题呢
我们有其他的证明方法
条条大路通罗马
我们这个地方是通过
高斯-若当消元法的过程
来给这个命题一个理解
我们先看从右到左
假设n阶的方阵A有n个主元
如果它有n个主元的话
我们的线性方程组Ax=ei
ei我们说就是刚才讲的说
在第i个位置上是等于1 其他位置都是0
这样的n维向量
那么如果系数矩阵A有n个主元的话
那线性方程组Ax=b就会有唯一解
特别Ax=ei这个方程组有唯一解
随着i的变化 i从1到n
那我们把这个唯一解记成x1到xn
好我们把x1到xn作为列向量
拿过来构成一个矩阵
Ax=ei这件事情可以写成是
A(x1,...,xn)是等于单位阵
那么也就是由x1到xn作为列向量
构成的矩阵是A的一个右逆
而另外呢
A可以通过一系列初等行变换化成单位矩阵
也就是说 用刚才的语言就是说
存在着初等矩阵E1,E2,...,Ek
使得Ek乘以E1再乘以A之后
等于单位阵
也就是说这个A它有左逆
这是它的左逆
好 我们这个方阵A
它既有左逆又有右逆
很容易从一开始我们讲的
可逆矩阵的第一个性质我们知道
这个左逆和右逆一定是相等
就是这矩阵的逆
因此A是可逆的
我们证明了A如果有n个主元
它一定是一个可逆矩阵
那么从左到右
假设A是可逆的
那根据定义是说
它存在着一个矩阵B
使得AB等于BA等于单位阵
那么我们要来证明A一定有n个主元
那么用反证法
说假设A没有n个主元
那我对A来用初等行变换的话
如果没有n个主元
我就一定可以通过初等行变换
使它化出来的矩阵
它会至少有一个0行
也就是说我存在着一堆初等矩阵
然后乘起来的这个乘积矩阵
使得EA这个乘积是有0行的
那么我们用EA这个矩阵和B去相乘
然后利用矩阵乘法的结合律
A和B乘到一起, 是单位阵
我们利用AB等于单位阵这个性质
那么就得到E
也就是说我们注意到EA是有0行
它去乘以一个矩阵B之后
这个乘积矩阵仍然是有0行
也就是说E这个矩阵它是有0行的
而E呢是一堆初等矩阵的乘积
它有0行是不可能的
这个是矛盾的
因此可逆矩阵一定是要有n个主元
那么在这个证明的过程里头
我们知道 我们在第二步里头
其实我们只用到了AB等于单位阵这个性质
也就是说A是有右逆这个性质
由证明过程我们可以知道
如果对于一个n阶的方阵, 它有右逆
也就是说我存在B矩阵
使里AB等于单位阵
那么我们通过这一步的证明
就知道A一定是有n个主元
那么再由第一步的这个性质
我们就知道A是可逆的
那么它的这个右逆
就应该是它的左逆
就应该是它的逆
好 这就是我们之前许诺
要证的那个事情
如果一个方阵有一个单边的逆
那它就一定是一个可逆的矩阵
这个当然你可以通过行列式去证
也可以通过其他的方法去证
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
