13.3 一般情形慕课视频播放-线性代数(1)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

我们讨论了一个点或者一个向量

在一条直线上

在一个平面上的投影

那么现在我们来讨论一般情况

A是m乘n阶的矩阵

设b属于Rm

我们来求一下b在CA上的投影p

那么由这张图

我们可以直观的看出

这个是我们的向量e

为了求出这个p呢

我们也是有两个基本的条件

一个是p属于CA

也就是说可以找到一个

Ax hat等于p

另一点呢b-p

也就是误差向量跟CA是垂直的

那么这个就意味着

A转置b-A转置

A转置乘上b-A乘A hat等于0

这个方程我们把它整理一下呢

就是x hat是这个的解

这个方程

我们后面也会提起

它是法方程

是Ax等于b的法方程

就是Ax等于b无解

但是呢

两边左乘一个A转置

A转置Ax等于A转置b

这个总是有解

而且这个解

解出来的就是我们的x hat

使用这个x hat左乘一个A以后

我们就得到了投影的p

好我们现在要说明一下

A转置Ax等于A转置b总有解

这个原因呢

是因为A转置b

它总是落在CA转置里面的

这是定义

但是CA转置呢

就是A的行空间跟CA转置A

是一样大的

这个我们在前面已经说过了

所以这个方程组总有解

另一方面我们前面也看到

x hat作为这个方程组的解

x hat经常是不唯一的

但是这个投影的p总是唯一的

那我们设x1 x2

是这个法方程的两个解

那么我们有Ax1 hat和Ax2 hat一样

也就是说

它们都是同一个投影点p

p是唯一的

那么这个原因

是因为x1 hat减x2 hat

是属于NA转置A

那么这个又跟NA是一样的

所以我们就得到了这个结果

所以p一般是唯一的

尽管x hat不唯一

那么如果A是列满秩的话

如果A列满秩

那么A转置A就可逆了

这时候x hat我们也是唯一的

那么x hat就是A转置A的逆

乘上A转置b

如果A转置A可逆

那么我们就得到了投影阵

p等于A乘A转置A逆

然后再乘上A转置

我们可以看到

它总是满足P平方等于P

P的转置等于P

这实际上呢就把Rn

我们映到了CA这个空间里面

这个是Rm

那么任何一个b

我们都映到一个p这个向量

那么这个p

最后就是我们这个大P乘上b

就是我们这个投影阵P乘上b

一般地我们说

如果一个矩阵满足

P的平方等于P

P的转置等于P的话

我们就把这个P叫投影矩阵

那有些同学可能会觉得

这样一个表达式

跟我们这样一个

一般的定义投影阵很不一样

实际上呢

我们这样定义投影矩阵呢

我们能找到合适的一个A

使得这个p等于

A乘上A转置A的逆再乘上A转置

那么也就是说

我们要找这个A

实际上就是找P这个投影矩阵

是关于哪个空间的投影矩阵

那么实际上是关于CP

P的列空间

P乘上任何一个向量

首先我们可以看到

这个都属于CP

而且一个向量如果属于CP的话

那么它再乘上P没有动

因为P的平方等于P

所以是关于CP

这个空间的投影矩阵

任给一个向量b

它写成两部分

p加上一个误差向量e

那么P乘上这个小p 它没有动

因为这个小p是属于CP的

而e是跟这个CP是垂直的

所以Pe是等于0的

我们有下面这个定理

设P是个投影矩阵

则P的列空间

和I-P的零空间一样

P的零空间和I-P的列空间一样

我们稍微注记一下

这两个等式呢非常像

就是一个等式是把P换成I-P

当把这个P换成这个I-P的时候

第一个等式就变成第二个等式

实际上我们看

P是投影阵的话

那么我们来看一下I-P

它的转置等于I-P

I-P的平方呢

因为I和P是交换的

所以我们可以写成一个

I的平方减去2P再加上P的平方

那么P的平方是等于P

所以最后我们看到还是I-P

也就是说当P是投影阵的时候

I-P实际上也是投影阵

所以这两个等式呢

我们证明一个就可以了

我们来看P乘上I-P

它是等于0的

这是因为P的平方等于P

我们把这个P的平方移到右边

提出P就得到这个等式

这样告诉我们什么呢

这告诉我们P I-P的每一列

实际上都属于NP

P的零空间因为P乘I-P

换句话说

也就是说C（I-P）

因为I-P的每一列属于这个

C（I-P）是属于NP的

那么我们看

这个等式是说

N P等于C（I-P）

所以要想证明等式呢

我们需要把这个包含号

更精确地分析

那我们只要看一下

这个和这个的维数就行了

好我们来假设

P的秩等于r的话

那么P假如说是n乘n的矩阵

那么C（I-P）我们来看一下

它的维数

如果能够等于n-r就可以了

那么这时候呢

我们大家可以使用秩的一个公式

就是r(A)+r(B)是大于等于r（A+B）的

利用这个公式呢

我们就可以看出r(I-P)+r(P)大于等于r(I)

使用这个等式

我们就能最终推出

这个和NP的维数是一样的

所以它们是相等

这就是我们这个定理的主要内容

线性代数(1)课程列表：

总引言

-课前引言

--课前引言

第一讲向量及其运算

-1.1 引言

-1.2 n维向量空间中的点

-1.3 向量

-1.4 向量空间的定义

-1.5 向量空间的线性组合

-1.6 向量的点积、长度

-1.7 向量的夹角

-1.8 两个不等式

-第一讲向量及其运算--1.9 课后作业

第二讲矩阵与线性方程组

-2.1 矩阵与向量的乘积

--2.1 矩阵与向量的乘积

-2.2 可逆矩阵

--2.2 可逆矩阵

-2.3 线性方程组的行图和列图

--2.3 线性方程组的行图和列图

-第二讲矩阵与线性方程组--2.4 课后作业

-第二章讲义

第三讲高斯消元法

-3.1 Gauss消元法（上）

--3.1 Gauss消元法（上）

-3.1 Gauss消元法（下）

--3.1 Gauss消元法（下）

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵

--3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵

--线性代数03++3.2.2置换阵

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵

--线性代数03++3.2.3初等行列变换和初等矩阵

-第三讲高斯消元法--3.3 课后作业

-第三章讲义

第四讲矩阵的运算

-4.1 矩阵

-4.2 矩阵的加法和数乘

-4.3 矩阵的乘法

-4.4 矩阵的乘法的性质

-4.5 矩阵的方幂

-4.6 关于矩阵乘法的引入

-4.7 分块矩阵

-4.8 矩阵的转置

-第四讲矩阵的运算--4.9 课后作业

第五讲矩阵的逆

-5.1 可逆矩阵的定义

--5.1 可逆矩阵的定义

-5.2 矩阵可逆的性质

--5.2 矩阵可逆的性质

-5.3 初等矩阵的逆

--5.3 初等矩阵的逆

-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆

--5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆

-5.5 矩阵可逆与主元个数

-5.6 下三角矩阵的逆

-5.7 分块矩阵的消元和逆

-第五讲矩阵的逆--5.8 课后作业

第六讲 LU分解

-6.1 LU分解

-6.2 用LU分解解线性方程组

-6.3 消元法的计算量

-6.4 LU分解的存在性和唯一性

-6.5 对称矩阵的LDL^T分解

-6.6 置换矩阵

-6.7 PA=LU分解

-第六讲 LU分解--6.8 课后作业

第七讲向量空间

-7.1 引言

-7.2 向量空间和子空间

-7.3 列空间和零空间

-7.4 阶梯形

-第七讲向量空间--7.5 课后作业

第八讲求解齐次线性方程组

-8.1 引言

--8.1 引言

-8.2 基础解系

--8.2 基础解系

-8.3 简化行阶梯形的列变换

--8.3 简化行阶梯形的列变换

-第八讲求解齐次线性方程组--8.4 课后作业

-第八章讲义

第九讲求解非齐次线性方程组

-9.1 复习

--9.1 线性代数复习

-9.2 求特解

--9.2 线性代数求特解

-9.3 解的一般性讨论

--9.3 解的一般性讨论

-第九讲求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业

-第九章讲义

第十讲线性无关、基与维数

-10.1 引言

--引言

-10.2 n维空间的坐标系

-10.3 无关性、基与维数

-10.4 无关性、基与维数的性质

-10.5 关于秩的不等式

-第十讲线性无关、基与维数--10.6 课后作业

-第十章讲义

第十一讲四个基本子空间的基和维数

-11.1 四个基本子空间的基

--11.1

-11.2 维数公式

--11.2

-11.3 例题

--11.3

-第十一讲四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业

-第十一章讲义

第十二讲四个基本子空间的正交关系

-12.1 引言

--12.1

-12.2 四个子空间的正交性

--12.2

-12.3 正交补

--12.3

-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性

--12.4

-第十二讲四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业

-第十二章讲义

第十三讲正交投影

-13.1 引言

-13.2 点在直线和平面上的投影

-13.3 一般情形

-第十三讲正交投影--13.4 课后作业

第十四讲最小二乘法

-14.1 复习

--14.1 复习

-14.2 最小二乘法

--14.2 最小二乘法

-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合

--14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合

-第十四讲最小二乘法--14.4 课后作业

-第十四章讲义

第十五讲 Gram-Schmidt正交化

-15.1 引言

--15.1 引言

-15.2 正交向量组和正交矩阵

--15.2 正交向量组和正交矩阵

-15.3 Gram-Schmidt正交化过程

--15.3 Gram-Schmidt正交化过程

-15.4 QR分解

--15.4 QR分解

-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业

-第十五章讲义

第十六讲行列式的基本性质

-16.1 引言

-16.2 二阶行列式的几何含义

-16.3 一般行列式的定义

-16.4 行列式和初等变换

-第十六讲行列式的基本性质--16.5 课后作业

-第十六章讲义

第十七讲行列式的计算

-17.1 行列式计算公式与展开定理

--17.1 行列式计算公式与展开定理

-17.2 典型例题

--17.2 典型例题

-第十七讲行列式的计算--17.3 课后作业

-第十七章讲义

第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义

-18.1 引言

-18.2.1 求逆矩阵公式

-18.2.2 线性方程组的公式解

-18.3 计算有向长度、面积和体积

-18.4 和QR分解的联系

-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业

-第十八章讲义

第十九讲特征值与特征向量

-19.1 引言和定义

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-19.2 例

--default

-19.3 特征值的性质

--default

-第十九讲特征值与特征向量--19.4 课后作业

-第十九章讲义

第二十讲矩阵的对角化

-20.1 矩阵可对角化的条件

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-20.2 特征值的代数重数和几何重数

--default

-20.3 矩阵可对角化的应用

--default

-20.4 同时对角化

--default

-20.5 小结

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-第二十讲矩阵的对角化--20.6 课后作业

-第二十章讲义

第二十一讲特征值在微分方程中的应用

-21.1 引言

-21.2 A可对角化的情形

-21.3 矩阵的指数函数

-21.4 二阶常系数线性微分方程

-21.5 微分方程的稳定性

-第二十一讲特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业

-第二十一章讲义

第二十二讲实对称矩阵

-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量

-22.2 实对称阵正交相似于对角阵

-22.3 实对称阵特征值与主元的关系

-22.4 小结

-第二十二讲实对称矩阵--22.5 课后作业

-第二十二章讲义

结束语

-总结和预告

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13.3 一般情形在线视频