当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十二讲 实对称矩阵 > 22.3 实对称阵特征值与主元的关系 > 22.3 实对称阵特征值与主元的关系
特征值是一个矩阵特征方程的根
主元呢是矩阵不需要换行
经过消元如果能够化成
上三角阵的非零对角元
那么它们之间的关系
很明确的我们知道
行列式会等于特征值的乘积
等于主元的乘积
一般而言 这个矩阵
特征值的符号与主元的符号
是没有关系的
我们看简单的例子
A是一个2乘2的矩阵
A等于1 6 -1 -4
那么我们很容易求得
它的特征值lambda1lambda2的和
是等于这个矩阵
对角线上元素的和
也就是我们矩阵的迹
lambda1和lambda的乘积
是等于这个矩阵的行列式
等于2
所以容易看出来
这个矩阵的特征值
是两个负特征值 -1和-2
那把这个矩阵的
做一下初等行变换
第二行加上第一行
那么化成一个上三角矩阵
它的对角线上的元素是1和2
是这个矩阵A的两个主元
是两个正的主元
那么它的特征值
和这个主元的符号没有关系
可是对于实对称矩阵而言
特征值的符号和主元的符号
是一致的
我们看一个简单的例子
A是1 3 3 1
这样的一个2乘2的实对称矩阵
同样我们可以求得
它的特征值是4 -2 一正一负
它主元是1 -8 也是一正一负
那么我们有定理说
实对称矩阵的正特征值数
与正主元数是相同的
为了证明这个定理
我们先来看一个引理
假设我们有一个可逆矩阵C
n阶的可逆矩阵
它对于左右两边的两个对角阵
有这样的关系
左边的这个对角阵
它对角元有P个1
有n-p个-1
右边的这个对角阵
对角线上有q个1 n-q个-1
如果左边的对角阵
等于C的转置乘以右边的对角阵
再乘以C
我们一定会有结论说
P和q要是相等的
用反证法假设p是大于q的
那么我们把C这个矩阵的q行p列
拿过来作为系数矩阵
构成一个齐次线性方程组
我们说对于这个
齐次线性方程组的系数矩阵
它的列数是比它的行数来得大的
所以它一定会有非0解
我们把非0解记成x1 xp
延拓一下后面的n-p个
我们添上0
从而得到一个n维的向量x
我们把Cx记成是y向量
于是y这个向量
它的前q个分量一定都是等于0的
这是由刚才这个性质得到的
那么后面的n-q个分量
我们就记成是yq+1到yn
于是用x的转置
去乘以定理中左手边的对角矩阵
再乘以x
那么这个对角矩阵
我们用C的转置乘以
第二个对角矩阵再乘以C来代替
来乘以x
我们把Cx是记成了y
那么x的转置乘以c的转置
就是y的转置
于是我们有y的转置
乘以定理中的第二个对角矩阵
再乘以y
那我们这两边来分别看一下
这个左边呢
它是等于x1的平方
一直加到xp的平方
因为x这个向量
它是x1 xp
后面的n-p个分量是等于0
那么因为x1 xp
是我们刚才讨论的
齐次线性方程组的非零解
所以这个平方和一定是大于0的
那么右边呢
因为y它的前q个分量是等于0
后面从yq+1到yn
所以右手边是它-yq+1的平方
减掉yn的平方
那么这是一个小于等于0的数
左右两边矛盾
因此我们的假设是错误的
一定应该有p小于等于q
可是同理可以证明
p是大于等于q
因此我们一定可以证明p等于q
好 有了这个引理之后
我们来看定理的证明
由于实对称矩阵
它的主元数是等于
它的非零特征值数
这对于一般的矩阵是不成立的
对于实对称矩阵
因为它一定可以相似于对角阵
所以我们有这件事情
因此不失一般性
我们可以对可逆的
实对称矩阵来讨论
也就是说
它的非零特征值的数是n
它的这个主元数是n
那么这种情况下
我们设A的正主元是P
正特征值数是q
于是A用它的LDU分解
我们说它等于LDL转置
L是对角元唯一的下三角矩阵
D是对角元为主元的对角阵
那这个是对称矩阵
它又正交相似于对角阵
所以我们就存在着正交矩阵Q
使得A等于Q的转置lambda乘以Q
lambda是对角元为A的特征值
lambda1到lambdan的一个对角矩阵
这样我们有A等于LDL转置
D这个矩阵是对角元
为d1到dn这n个主元
我们把它写成
d1绝对值然后开平方
dn的绝对值开平方 再去
这是一个相当于是主元的
绝对值的平方根矩阵
那么它们俩乘起来
应该希望等于我们的D这个矩阵
但是我们是有P个正主元
n-p个负的主元
所以我们中间需要插入
这个对角矩阵
好 同样的A等于Q转置lambdaQ
我们把lambda这个矩阵同理分成
三个矩阵的乘积
那么我们用iq -i n-q这个矩阵
来标明A有q个正特征值
n-q个负特征值
好 我们要把这个变一下形
跟我们引理去靠拢
我们令U等于这两个矩阵的乘积
那么它是一个可逆矩阵
V等于特征值矩阵的绝对值的
开平方的这个矩阵和Q去做乘积
那V也是可逆矩阵
那么刚才的结论
我们可以表示成这样的形式
说左手边IP -In-p这个对角矩阵
等于U的转置逆矩阵
乘以V的转置再乘以对角阵Iq
-In-q乘以V乘以U的逆矩阵
那么这部分是VU逆的转置
所以我们可以利用引理知道
P一定等于q
这样我们就证明了定理
因为P和q它们分别代表着
实对称矩阵的正的主元数
和正的特征值数
这样我们可以证明实对称矩阵
它正主元数
和正特征值数是相等的
事实上刚才的思路
我们是证明了实对称矩阵
相应的惯性定理
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
