当前课程知识点：线性代数(1) > 第十九讲 特征值与特征向量 > 19.3 特征值的性质 > default
接下来我们来看一下
特征值的一般性质
我们说一般的一个复数域上的
n阶的矩阵A
它的特征多项式我们记成是flambda
这是一个关于lambda的n次多项式
那么根据代数学基本定理
我们说这样的一个n次多项式
在复数域上它是有n个根的
那这个n个根可能是有重根
我们可以记重数
我们来看例子
刚才我们的旋转90度的这个矩阵
0 -1 1 0这个矩阵
我们计算出来它的特征多项式
是lambda平方+1
那在实数域上它没有根
在复数域上它有正负i这样两个根
我们说在复数域上
我们一个复的矩阵
它一定有n个特征根
我们再看下面的性质
如果我们说如果lambda
是矩阵A的一个特征值
那么对于A平方这个矩阵而言
lambda平方一定是A平方的一个特征值
lambda+m呢
一定是A+mI的一个特征值
这个很容易看到
我们说事实上
lambda如果是A的一个特征值的话
我们会存在着这个非0的向量x
使得Ax等于lambdax
因此A平方x就等于
先去作用一下等于lambdaAx
那AX又等于lambdax
所以lambda平方x
这样两边去比较一下的话
我们说lambda平方
是A方的一个特征值
X呢是属于特征值
lambda平方的特征向量
那（A+mI）x等于Ax+mIx
Ax等于lambdaX
所以合并一下等于lambda+mx
也就是说x也是A+mI
这个新的矩阵它属于特征值
lambda+m的特征向量
那一般的情况是什么呢
是说假设lambda
是矩阵A的一个特征值
Px是关于X的一个多项式函数
那么把这个x给换成矩阵A
我们会得到一个n阶的一个矩阵
那Plambda是这个新的矩阵
P（A）的一个特征值
那比如我们的Plambda
比如说我们的PX等于x的平方
加上2X加上1
那我们相应的P（A）
就变成是A平方加2A加上单位阵
这样的一个n阶的方阵
如果说Ax等于lambdax
这个x是一个非0的向量
也就是说x
是属于特征值lambda的特征向量
那我们的P（A）
这个新的矩阵作用在X上
就等于A平方x加上2Ax
加上单位阵乘以x是等于x
那么A平方x是等于lambda平方x
2Ax是等于2lambdax 这个x加过来
那么也就是说是lambda平方
加上2lambda加上1去乘以x
那么两边去比较一下
这样P（A）x等于lambda平方加2x
加1去乘以x
而这个东西不是别的 就是Plambda
我们说Plambda
是矩阵P（A）的一个特征值
那如果A是可逆的话
我们说lambda分之一
是A逆的一个特征值
这个也好证
我们说已知Ax等于lambdax
x是一个非0向量
于是我对这个式子的两边
来去同乘以A逆
那左手边A逆
AxA逆 A就是单位阵
单位阵乘以x就是x自己
那么右手边A逆去乘以lambdax
也就是lambda去乘以A逆x
那么由这个事情
两边去除以lambda
我们就得到A逆x
就等于lambda分之一x
也就是说A逆它一定有特征值
lambda分之一
好 这是特征值的第二个
有意思的性质
我们刚才说一个矩阵
n阶的矩阵它的特征多项式
是一个n次的多项式
我们还可以更具体的看一下
我们设一个n阶矩阵
它有n个特征值
包括我们要记乘数
我们把这n个特征值
叫做lambda1到lambdan
我们可以知道这n个特征值的和
是等于原来这个矩阵
A主对角线上的元素的和
a11一直加到ann
那么这个和我们有一个名字
我们叫A的trace A的迹
还有呢 这n个特征值
它们的乘积是等于
原来A的行列式
那这个事情怎么来看
好 我们看一下证明
我们来讨论lambdaI-A的行列式
这是我们之前定义的
A的特征多项式
A-lambdaI的行列式
我们每一个元素变了一个符号
那么什么好处呢
这样这个多项式
它关于lambda n次方
它前面的系数是正1
没有本质的差别
只是写起来像是要好看一点
那好 这个行列式
我们按照第一行来做展开
那等于lambda-a1
去乘以相应的代数余子式c11
再减掉a12去乘以代数余子式c12
再减掉a1n去乘以代数余子式c1n
因为我们这儿是减号
那注意到代数余子式里头呢
除了c11之外
除了这个c11
在去掉第一行第一列
得到这个代数余子式是c11之外
其他的c12 c1n
它都是关于lambda的这个次数
是小于等于n-2的
那么再递推来讨论c11
我们发现在原来的
这个lambdaI-A的行列式里头
关于lambda的n-1次幂的系数
只能是a11一直加到ann
这个和再取负号
另一方面呢 我们知道
特征值lambda1到lambdan呢
它一定lambdaI-A这个行列式
等于0的解
所以它可以写成lambda-lambda1
乘以lambda减掉lambdan的乘积
这是因为我们这样去取了以后
在这个多项式里头
lambdan的次数应该是等于正1的
所以它一定会有这个分解
那在这个分解里头呢
关于lambda的n-1次幂的系数
是lambda1一直加到lambdan这个和
再取一下相反数
好 那我们两边去做比较
我们立即可以得到
这n个特征值lambda1到lambdan的和
是等于A这个矩阵
主对角线上元素的和
也就是A的trace
这是我们第一个结论
那么如何来看
n个特征值的乘积呢
我们在lambdaI-A的行列式中
来令lambda等于0
那么就变成是
-A这个矩阵的行列式
那么是-1的n次幂
乘以A的行列式
另外一方面呢
令u等于又等于lambda减掉lambda1
一直乘到lambda到减掉lambdan
那如果令lambda等于0的话
我们就得到-1的n次幂
再去乘以lambda1乘到lambdan
两边做一下比较
我们就得到n个特征值的乘积
是A的行列式
那事实上 我们知道
lambda1一直加到lambdan
是lambda1到lambdan的一个
一次对称多项式
lambda1乘到lambdan
是lambda1到lambdan的n次对称多项式
那你自然就会去问说
我在lambdaI-A这个n次多项式里头
关于lambdak的前面的这个系数
它对应的A有什么样的意义呢
我们说这个对应着A的一个
k阶的主子式和这个系数
它是lambda的一个k次对称多项式
这个要紧的关系是很有意思的
大家可以课下自己去考虑一下
那么另一方面呢
我们也可以看到说
如果A是不可逆的
那么A的行列式是等于0的
从这个A的行列式是等于lambda1
去乘以lambdan里头我们就知道
我们一定会存在着
某一个特征值是0特征值
这个很容易
从这个关系式里看得到
好 接下来我们再来看
给你一个三阶的置换阵
我们说它的行列式是正1或者-1
因为p的转置等于单位阵
它是一个正交矩阵
那我们看说
我P如果是单位阵的时候
它的trace是等于3的
主对角线上的元素是1 1 1
那么如果这个置换阵是交换
做了一次行交换得到的置换阵
那么它的trace是等于1
这是因为原来单位阵三个1
是在主对角线上
你做了一次行交换以后
比如是0 1 0 1 0 0
0 1 1交换第一行和第二行
这样交换了一次行的置换阵
那我有两个1 1
移出了主对角线
所以它的trace是等于1
那么如果做两次不一样的行交换
我们得到的trace是等于0
那我们再比如来看下面这个矩阵
0 1 0 1 0 0
0 0 1这个矩阵
我们可以看到trace等于1
它属于这种情况
它的行列式是等于-1
它的特征值有两个是等于1的
是重根 然后还有一个特征值
是等于-1
这节课我们由求解线性常微分方程
引入了矩阵的特征值和特征向量
讨论了一些典型
而简单的矩阵的例子
以及特征值的性质
一个n阶的方阵有n方个元素
特征值这n个数
如果能够控制矩阵的性质
这是非常有意思的问题
希望大家好好体会
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
