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各位同学大家好
从这节课开始
我们一起来学习
线性代数的另一部分
非常重要的内容
矩阵的特征值与特征向量
各位同学大家好
迄今为止
我们基本上是在围绕着
求解线性方程组Ax等于b讨论
现在我们要来讨论
求解线性常微分方程组
我们看下面一个简单的例子
考虑两个一阶线性
常微分方程构成的方程组
du1 dt等于4倍的u1减5倍的u2
du2 dt等于2倍的u1减3倍的u2
那么很容易用矩阵形式
来写这个方程组
我们把未知向量U
设成是u1t u2t
那这时候系数矩阵
等于4 -5 2 -3
这样的一个常数矩阵
那么上面的方程组就可以转化成
这种形式
du dt等于AU
这是一个一阶的方程
也就是说它没有高阶导数出现
它关于未知函数是线性的
并且这个方程是齐次的
也就是说它只含有未知函数U
和未知函数U的导数
而且它还有一个常系数的矩阵A
那么这是一个一阶常系数
线性常微分方程组
那么怎么求解这个方程组呢
我们先看一下单个数量方程
du dt等于au
这时候a是一个常数
我们很容易通过积分可以知道
这样的未知函数ut
是等于指数函数eat
去乘以一个常数u0
这个u0不是别的东西
它是u这个未知函数
在t等于0时候的值
那么受此启发我们猜想
刚才的这个方程组
它可能会具有下面形式的解
什么样子呢
它的未知函数是一个指数函数
去乘以一个常数的样子
那我们就寻求下面形式的解
或者呢用向量的记法
可以表示成这个ut
是等于指数函数elambdaT
去乘以一个向量x
这个x是一个常数向量
现在我们就把
想要的这种形式的解
代入到原来的方程里头去
我们先看分量的形式
那这是我们原来的方程组
du1 dt等于4u1减掉5倍的u2
du2 dt等于2倍的u1减3倍的u2
我们把刚才u1t等于elambdat
c1u2t等于elambdatc2
代到这个方程组里头去
我们就得到下面的表达式
我们注意到elambdat呢
是大于0的一个函数
我们两边可以消掉
那么我们就得到一个
关于c1 c2的线性方程组
表示成矩阵形式
就变成是这个常数矩阵
去乘以c1 c2等于lambdac1c2
或者呢把ut写成elambdatx这种形式
代到向量值的常微方程组里头去
就可以给出来左手边是elambdat
去乘以这个常数向量x
右手边是a去乘以elambdatx
那同样两边把elambdat给消掉之后
我们发现这时候我的x
它一定要满足Ax等于lambdax
那这是一个关于数lambda
和未知向量x的一个方程
它是非线性的
因为它涉及两个未知量
lambda和x的乘积
那如果我们能够求出lambda的话
那这个方程对x就变成线性的了
这时候我们移一下项
就有a-lambdaI去乘以x等于0
也就是说当你已知lambda之后
x是长在a-lambdaI
这个矩阵的零空间里
那于是求解原来的常微分方程组
就转化成求lambda 求x
对任意的lambda的值
我们说向量x等于0呢
总是满足Ax等于lambdax
但问题在于x等于0
只能产生像是代进去之后
得到0解 只能产生0解
我们关心呢是有非零向量
满足Ax等于lambdax的特殊的lambda值
也就是说对于那样的lambda
对于什么样的lambda呢
对于取得A-lambdaI
它的零空间包含非零向量
的相应的lambda
这样的lambda才有意义
而这个a-lambdaI的零空间
如果是含有非零向量的话
也就是A-lambdaI x这个齐次
线性方程组有非零解
那么它要等价于A-lambdaI
是不可逆的
也就等价于A-lambdaI
这个矩阵的行列式是等于0的
那么我们可以由
这个行列式等于0这件事情
可以把lambda求出来
那以上的观察就启发引入
方程的特征值和特征向量
这样的概念
对于一个给定的方阵A
如果存在一个数lambda
和一个非零向量x
它能够满足Ax等于lambdax
那我们就把lambda称为是
这个方阵的特征值eigenvalue
称x为A的属于特征值lambda的
特征向量eigenvector
那么由刚才的分析我们知道
这个数lambda是方阵A的特征值
是等价于它要是A-lambdaI的
行列式等于0
这个方程的解
那么这个方程就叫做是
矩阵A的特征方程
回到我们刚才的例子
我们来看一下A-lambdaI
这个矩阵的行列式
那是4-lambda -5 2 -3 -lambda
我们写开来它的行列式是等于
lambda+1 lambda-2的
这是一个关于lambda的二次多项式
称为是矩阵A的特征多项式
A的特征值就是这个特征方程
A-lambdaI的行列式等于0的解
或者说是特征多项式的根
它是lambda1等于-1 lambda2等于2
那么求出特征值lambda1和lambda2之后
我们要求属于
这两个特征值的特征向量
只需要对相应的齐次线性方程组
（A-lambdaI）X等于0来求非零解
我们注意到lambda1等于-1的时候
（A-lambda1I）x
那么这时候矩阵变成这个矩阵
X是c1 c2
我们要来求解这个方程组
那么可以求出
方程组的一个基础解x1等于1 1
所以矩阵A的
属于的lambda1等于-1的
所有的特征向量是k1 x1
这个k1是一个实数
它是一个非0的实数
这是我们的特征向量
因为特征向量我们要求
它一定是非零向量
同样的lambda2等于2的时候
（A-lambda2I）X等于0
这个齐次线性方程组
我们容易求得它的一个基础解系
x2等于5 2
那A的属于
2这个特征值的所有特征向量
是X2的所有的非0倍数倍
k2 x2
我们可以看到特殊向量
不是唯一的
A减掉lambda I的零空间中的任何一个
非零向量都是特征向量
我们只需要求得
这个空间的中的一组基
那么A-lambdaI的零空间
我们又称它是相应于特征值
lambda的特征子空间
它是由属于lambda的所有特征向量
再加上一个0向量构成的
我们只需要
求得它的一组基就可以
回到刚才的微分方程
du dt等于au
我们已经求得了两个特解
elambda1tx1 现在是lambda1等于-1
所以e-t1 1
e lambda2tx2也就是e2t 5 2
那么因为这个方程
是线性的齐次的
所以它这个 微分方程
它的解是可以叠加的
我们可以证明
说这两个特解的线性组合
c1elambda1t x1加上c2elambda2tx2
c1 c2是任意实数
它给出原来微分方程的通解
那么所以解这一类的微分方程呢
它的关键
就是求系列矩阵的特征值
和特征向量
这里呢我们讨论了特征值
和特征向量对微分方程的应用
我们还将讨论
特征值和特征向量
在离散动力系统
和几何等方面的应用
特征值和特征向量的基本概念
在数学和其他学科中
都有非常非常重要的作用
那我们注意到说Ax等于lambdax
它表示特征向量x
使得被A左乘之后
与自身共线的那样特殊的向量
那一个矩阵乘以一个向量之后
一般来说会是会变方向
而特征向量呢
是那样的一类特殊向量
它被A左乘之后呢
它还是跟它得到的lambdax
是跟它x是共线的
例如x等于1 0
那么当我们用这样的矩阵
4 -5 2 -3
去乘以它的时候
Ax变成是4 2
这个当然就改变了X的方向
所以Ax不是x的倍数
那么这意味着说
只有某些特殊的数lambda是特征值
并且只有某些特殊的向量
是属于这个特征值的特征向量
当然当A是单位矩阵倍数的时候
也就是说是所谓数乘矩阵
ki的时候呢
那么这样的矩阵去乘以任何向量
都没有被改变方向
从而所有向量都是这个kI
这样的矩阵
数乘矩阵的特征向量
但是对一般的矩阵而言
这个情形是不一样的
那么还有呢
我们求这个矩阵的特征值
和特征向量的方法
是下面的一些步骤
第一步是计算特征多项式
A-lambdaI的行列式
第二步是求这个特征方程
A-lambdaI的行列式等于0
求这个方程的解
那么也就是我们的特征值
对于给出来的每一个特征值
去求解齐次线性方程组
A-lambdaI等于0
那所有的非0解就是属于lambda的
所有特征向量
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
