当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十二讲 实对称矩阵 > 22.2 实对称阵正交相似于对角阵 > 22.2 实对称阵正交相似于对角阵
好 我们回忆一下
我们说一个矩阵是可对角化的
等价于这个矩阵有一组特征向量
可以做成空间的基底
那么如果一个实对称矩阵
它是可对角化的
根据刚才的性质我们知道
它应该会存在着一组特征向量
可以构成空间的单位正交基底
那么事实上呢 我们的结果更强
我们说任何实对称矩阵
一定正交相似于对角阵
也就是说给你一个实对称矩阵
它一定会存在着正交阵Q
使得Q的转置乘以AQ为对角阵
那我们再稍加注意一下
说这个矩阵是相似于对角阵
是说存在着一个可逆矩阵P
P逆AP等于对角阵
那么在这种情况下
正交相似是说这个过渡矩阵P
它一定是一个正交矩阵
而正交矩阵它的逆矩阵
是它的转置
所以我们就有Q的转置
AQ为对角阵
那么这个结论是怎么证明的呢
我们看一下这个结论的证明
对矩阵的A的阶数用数学归纳法
n等于1的时候结论是自然成立的
假设结论对n-1阶的矩阵也成立
那么我们看
n阶的实对称矩阵的情形
那设A有一个单位的特征向量α1
Aα1等于lambda1α1
α1就可以扩充成Rn的一组基底
进一步总可以去正交化
得到一组标准正交基底
我们记成是α1 β2 βn
我们把这一组标准正交基底
拿过来作为列向量构成矩阵P
那么它一定是对角阵
这时候P的转置再乘以P
就等于lambda1 这个地方是A1
这个地方是星
我们可能是一些其他的数
我们记成这样的对角块矩阵
在这个位置上
之所以是lambda1
是因为我们总有
Aα1等于lambda1α1
是一个特征向量
由于A是一个实对称矩阵
我们一定可以得到
刚才的P的转置AP
相乘呢它应该是一个对角块矩阵
这个位置上一定是0
因为这也是一个对称的
所以刚才星的位置上应该等于0
并且我们知道这个A1
它也是一个实对称矩阵
那因为A1
是一个n-1阶的实对称矩阵
所以我们可以利用
刚才的归纳假设
我们知道它一定会存在着一个
n-1阶的正交阵 我们叫u1
使得U1的转置乘以A1
再乘以U1为一个对角阵
对角线上的元素是A1的特征值
那我们把这个U1
和1给组合在一起
构成一个新的n阶的矩阵u
这时u是一个正交阵
我们这个正交阵u
和这个P乘在一起
PU 那么这个乘积
也是一个正交阵 叫Q
于是Q的转置乘以AQ
我们注意一下
它就变成是U的转置
乘以P的转置再乘以A
再乘以PU
那么我们说P的转置
乘以A乘以P
是刚才在这里我们得到是lambda1A1
那U呢是1 u1
所以它的转置是1 U1的转置
那根据我们刚才说
U1的转置乘以A1乘以U1
是等于这样的一个对角阵
于是我们就可以得到说
Q的转置乘以AQ等于
以lambda1lambdan为对角元的一个对角阵
这样我们就证明了这个结论
说任何的实对称矩阵
它一定是正交相似于对角阵
我们看一个简单的例题
这个矩阵A
它是一个4乘4的矩阵
是一个实对称矩阵
我们来求一下正交矩阵Q
使得Q转置AQ为对角阵
那么根据刚才的证明我们知道
一开始我们要求A的特征值
那我们看A的特征多项式
A-lambdaI的行列式
那么注意这个行列式
它在各列的和一定是1-lambda
我们把各列都加到第一列来
于是我们得到这个共同的
都是1-lambda
那我们把1-lambda这个公因子
可以提出来
那么第一列就变成了1 1 1
然后去消元
然后第二行减第一行等于这个
第四行减第一行
从而得到这个矩阵
那么这个矩阵
我们可以根据第一列的元素
去做展开
那么就得到下面这个三阶的矩阵
三阶的矩阵
我们容易去求它的行列式
我们容易得到说这个行列式
是1-lambda括号的平方
lambda的平方加2lambda减3
分解一下因式
我们说A的特征多项式
等于1-lambda的平方
lambda-1 lambda+3
那自然的我们看到说
特征值有一个三重特征值1
还有一个一重特征值-3
对于lambda1等于lambda2等于lambda3
等于1的情形
我们可以求出齐次线性方程组
A-Ix等于0的一个基础解系
x1是1 1 0 0
x2是1 0 1 0
x3是-1 0 0 1
对于lambda4等于-3这个特征值
我们可以求出（A+3I）x等于0
这个齐次线性方程组的一个
基础解系x4为1 -1 -1 1
那我们看到说属于特征值1的
三个特征向量
和属于特征值-3的
这一个特征向量是相互正交的
x1和x4正交 x2和x4正交
x3和x4正交
那我们想要得到一组
单位正交的基底的话
我们只需要把x1 x2 x3
它们去做单位正交化
而我们做正交化只需要对
x1 x2 x3来做
用Gram-Schmidt正交化来考虑
另ksi 1等于x1
ksi 2是x2减掉x2在ksi 1上的投影
x3减掉x3在ksi 1上的投影
减掉在ksi 2上的投影
从得到ksi 3
那这时候ksi 1 ksi 2 ksi 3
是正交的
ksi 4等于x4不变
然后我们再把它单位化
从而得到这个q1
q1是ksi 1去除以它的模长
ksi 2除以它的模长等于q2
ksi 3除以它的模长等于q3
ksi 4除以它的模长等于q4
这样我们就得到了一组
单位正交的特征向量
我们用列向量做成一个矩阵Q
这个Q一定是一个正交矩阵
并且Q的转置乘以AQ
是等于对角阵
对角线上的元素是1 1 1 -3
这四个特征值
好 由前面的定理我们知道
对任何实对称矩阵A
我们都存在着正交矩阵Q
使得Q的转置乘以AQ
是等于对角阵的
这里呢 Q它的列向量
q1 qn是A的单位正交的
特征向量
这个lambda呢它的对角元素
lambda1 lambdan为A的特征值
AQI等于lambdaiQi
我们把这个表达式换一种方式写
我们说我们就可以得到
A等于QlambdaQ的转置
Q呢是以q1 qn为列向量
lambda呢是以lambda1 lambdan
为对角元的对角阵
Q1转置Qn转置
那我们就可以把它写成
A等于lambda1q1q1的转置
一直加到lambdanqnqn的转置
这呢叫做是谱分解
我们注意到说qj qj的转置
这是到由特征向量
qj所张成的一维空间上的
投影矩阵
因此呢 刚才这个谱分解呢
它是把任意的实对称矩阵
表示成了秩一投影矩阵的和
用刚才的定理证明的方法
类似的我们可以证明
下面的所谓Schur定理
所谓任意的一个复方阵A
一定会酉相似于上三角阵
也就是说对于任何一个复方阵
一定会存在着酉矩阵U
所谓酉矩阵是指它的共轭转置
和自己相乘等于单位阵
这样的方阵
那么 好
存在着酉矩阵
使得U的共轭转置AU等于T
为上三角阵
用刚才类似的数学归纳法
我们同样可以证明这个定理
好 我们看例题
设A是一个n阶的实对称矩阵
lambda1到lambdan为A的全部特征值
我们证明说存在实数C大于0
满足对于任意的一个n维向量x
x的转置Ax的绝对值
要小于等于C去乘以x的转置x
那我们注意到
因为A是一个实对称矩阵
所以一定会存在着一个正交阵
使得A是正交相似于对角阵
也就是Q的转置AQ为对角阵
对角元是A的特征值
那么
我们对于任意的一个n维向量x
我们用y来表示Q的转置乘以x
我们把它的分量记成是y1到yn
我们来注意到说
我们想要讨论的x的转置
Ax这个数 这是一个数
我们把A呢用Q
lambdaQ的转置给取代
那我们注意到Q的转置乘以x
我们令它是为y
所以呢我们X的转置AX
是等于y的转置 lambday的
那把Y的分量y1到yn
以及这个lambda是一个对角阵
统统代进来
我们会发现y的转置乘以lambday
就是lambda1乘以y1的平方
一直加到lambdan乘以yn的平方
那么我们取lambdai的绝对值
当i从1到n来变化
最大的那个数我们是叫它是C
我们说这个是数
我们说刚才证明了x的转置
Ax是等于y的转置 lambday的
所以加绝对值后它们仍然相等
而这个数呢
它是等于刚才说
lambda1y1的平方
一直加到lambdanyn的平方
那么它要来的小于等于上面
C去乘以y1的平方加到yn的平方
而y1的平方一直加到yn的平方
就是y和自己来做内积
也就是y的转置乘以y
就是我们想要的y转置乘以y
我们还可以注意到说
刚才y是等于Q转置X的
所以代入进去
那Q和Q的转置相乘
是等于单位阵
因为Q是一个正交矩阵
所以它一定等于c
去乘以x的转置X
这是我们不等式右手边的
这样我们就证明了这个不等式
那么这里我们利用了实对称矩阵
它一定正交于相似于对角阵
这件事情
再来看一道例题
设lambdamax是实对称矩阵
A的最大特征值
我们求证A的对角线元素
aii一定来的比这个数要不大
要小于等于这个数
怎么证呢 同样
我们仍然利用A是实对称矩阵
它一定正交相似于
对角阵这件事情
我们说一定存在着
正交阵Q
使得Q的转置AQ为对角阵
对角线上的元素为A的特征值
lambda1到lambdan
那我们注意到这个矩阵
A的对角元aii
它是这样的一个向量
ei的转置和A
再和ei去相乘得到的
那其中这个ei是一个n维向量
只有在第i个位置上是1
其他位置上都是0的
这样的一个n维向量
你可以去验证说
我们这样求出来一定是aii
类似于刚才
我们还是令Q的转置乘以ei
我们记成是β
把它的分量记成β1到βn
那么因为aii呢
是ei的转置去乘以A
再乘以ei
A在这种情况下
它等于QlambdaQ的转置
我们把Q的转置ei合在一起
记成是β
这样aii是变成是β的转置 lambdaβ
那么用分量的形式表达出来
是lambda1β1的平方
一直加到lambdanβn的平方
那最大的那个 我们记成是
最大特征值是记成lambdamax的
所以我们是小于等于lambdamax
然后里面的是β1的平方
一直加到βn的平方
那里面不是别的东西
就是β和自己去做内积
就是β的转置乘以β
而β呢是等于Q的转置去乘以ei的
所以这个β的转置
是等于ei的转置去乘以Q
那么Q是一个正交矩阵
所以Q和Q的转置相乘
是等于单位阵
于是β的转置乘以β
就等于ei的转置乘以ei
实际上就是正交矩阵
它保持向量的长度
这样我们又知道ei是个单位向量
所以它和自身的这个点积
是等于1的
那么它就等于lambdamax
这样我们就证明了
我们想要的结论
说一个实对称矩阵
对角线上的元素
一定要小于等于它的最大特征值
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
