当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十一讲 特征值在微分方程中的应用 > 21.4 二阶常系数线性微分方程 > 21.4 二阶常系数线性微分方程
接下来我们来看一下
所谓的二阶常系数的线性微分方程
我们考虑y两撇加ay一撇
加by等于0
这个二阶常系数线性微分方程
a和b这两个数都是常数
未知函数y等于y（t）
我们注意到这个方程里头
只含有未知函数y
以及它的导数
它含有两阶导数
所以我们叫二阶的
那么这样的方程
只含有未知函数和导数的方程
我们说它的解是形如指数函数
这样的函数
那我们就来设
设y等于elambdat
是上面这个方程的解
我们代入到方程里头去
那y的一阶导数是等于lambdaelambdat
y的两阶导数是lambda平方elambdat
代进去以后
左手边变成这种等于0
那么因为elambdat是不等于0的
所以我们两边约掉e的lambdat次幂
我们就得到
关于lambda的一个代数方程
lambda平方加上alambda+b等于0
原来关于y的微分方程
变成关于lambda的一个代数方程
这个代数方程
我们叫做是特征方程
下面我们就看出
为什么叫特征方程
那我们假设lambda1lambda2
是这个特征方程的两个根
如果这两个根是不相等的
那我们说elambda1t和elambda2t
是刚才微分方程的
两个线性无关的解
那我们注意
我们从微分方程理论里头
我们知道
这个二阶常系数的线性微分方程
它的解集是一个向量空间
它也有这个解的叠加性
那么它的解集是一个向量空间
我们还有定理可以保证
这个向量空间的维数是二维
好 那么当lambda1不等于lambda2的时候
我们求出来
它的两个线性无关的解
那么它就构成了
这个解集的一组基底
因此我们说这个通解呢
是elambda1t elambda2t的线性组合
如果lambda1 lambda2是实数的话
如果我们想要去求实解
那么好 这是两个基底
那如果lambda1lambda2是共轭复数的话
我们记这个共轭复数是α+iβα-iβ
这个αβ是两个实数
我们说不管怎么样讲
e的lambda1t e的lambda2t
是原来微分方程的两个
线性无关的解
它可以构成
这个向量空间的一组基底
那么如果我们想要去看
这个实解的话
那么我们要把这个e的lambda1t
和e的lambda2t变一下形
因为我们知道
用欧拉公式我们知道
（α+iβ）t再加上 e的（α+iβ）t
加上e的（α-iβ）t
根据欧拉公式
它是e的αt cos βt
那么也就是说
我原来两个解的线性组合
得到这个是一个实解
由它的差除以2
得到仍然是一个解
得到的这两个解都是实解
并且它是线性无关的
我们用它们俩拿过来
作为解空间的一个基底
那我们可以把通解写成
c1去乘以e αt cost
加上c2去乘以e αt sin t
那么这个与微分方程组
刚才我们讲的微分方程组
有什么关系呢
我们发现
这个常系数的二阶线性微分方程
y两撇加A一撇再加by等于0中
可以写成dy/dt等于y一撇
dy一撇/dt也就是y的两撇
移下项等于负ay一撇减by
那如果我们把y y一撇
作成一个向量的话
我对它去求导数
那就等于y y一撇
左边去乘以这个矩阵
我们把这个矩阵给记成是A的话
把这个向量去叫成是U的话
那我们就把刚才的这个方程
转化成du/dt等于Au这个方程
那么就跟我们之前讲的内容
给结合起来了
我们对于这个系数矩阵A
去看它的特征多项式
那它的特征多项式求出来
是lambda平方加上alambda加b
这就是刚才我们对于
二阶常系数线性微分方程
得到那个代数方程
这就是为什么
我们叫它特征方程的原因
它是相应的这个矩阵
A的特征多项式
好 那我假设
有两个相异的特征根
于是可以求出相应的特征向量
x1等于1 lambda1
x2等于1 lambda2
对应的特征向量
lambda1和lambda2不相等
所以x1和x2线性无关
于是我们可以求出
通解是c1elambda1t乘以x1
加c2elambda2t去乘以x2
c1和c2是常数
那么看这个U的第一个分量
我们就可以得到y
y不是别的东西
就是c1elambda1t加上c2elambda2t
这跟刚才我们对于常微分方程
去讨论结果是相同的
这样我们把二阶常系数的
线性微分方程
跟我们的矩阵形式的
du/dt等于Au
确切的给联系在一起
那么在这个时候
A有相异的特征值
等价于A是可以对角化的
那很自然的有一个问题是说
如果高阶的齐次的
常系数的线性微分方程是怎么样
比如说y三撇减掉2y两撇
减掉y一撇加2y等于0
还是它只含有未知函数y
和未知函数的导数
一阶导数 二阶导数 三阶导数
这是一个三阶的
常系数的线性微分方程
那么它的通解是怎么样
这个大家同理可以去求解
我们去转化成代数方程
lambda三次方减二
lambda平方减去lambda加上二等于零
求出来lambda1等于1
lambda2等于-1 lambda3等于2
通解是et e-t e2t的线性组合
这个和刚才是同理可以求解的
那自然的会去问说
如果我们的系数矩阵
A有相同的特征值
lambda1等于lambda2的时候
那么这个时候
A是不能够对角化的
我们给一个简单的例子
我们来看
求解这样的一个二阶常系数
线性微分方程y两撇减2y一撇
加y等于0
我们说
它还是因为只含有未知函数y
和未知函数的导数
因此它的解呢
是应该指数函数的形式
我们设这个解是e等于lambdat
代到方程里头去
变成lambda平方减2lambda加1
乘以elambdat等于0
因为elambdat是不等于0的
所以两边消掉以后
我们转化成代数方程
这个代数方程有两个重根
在这种情况下
从微分方程的理论
则我们断言说e的t次幂是一个解
te的t的次幂去验证它也是一个解
它们俩线性无关
我们又知道这个微分方程的
解空间是一个二维的向量空间
因为它是2阶的
这个我们没有讲证明
我们承认这个结果
于是它的通解
是由这两个线性无关的解的
线性组合得到的
c1et加上c2tet
其中c1 c2是常数
特别的情况
如果我们看t等于0的时候
y0和t等于0的时候
一阶导数y一撇0
我们代到这里头去
可以知道y0是等于c1
y1一撇0等于c1+c2
这样的话c1和c2这两个常数
可以用y0和y一撇0给表示出来
那么我们的解y呢
可以写成是y01t
加上y一撇0减y0t乘以et
好 在这里头
那么tet这个解
我们并没有讲原因为什么是
验证当然你知道
它为什么是一个解
我们下面
转化成矩阵值的方程组以后
看看原因是什么
我们照旧是把y y一撇
作为一个列向量
构成一个向量值的未知函数U
那么刚才的方程
可以转化成是du/dt等于Au
这个A是0 1 -1 2这个矩阵
我们来求这个矩阵
A的特征多项式
我们发现它等于lambda-1的平方
因此它有两个重根
lambda1等于lambda2等于1
对应的矩阵A-lambda1t等于这个矩阵
因此我们可以求出来
它的零空间是1 1
乘以一个常数C
因此lambda等于1这个特征值
它的几何重数是等于1的
因为它的相应的特征子空间
是一维的
它的代数重数是等于2的
几何重数小于代数重数
这个矩阵是不能够对角化的
那么这个例子里头里
我们可以知道说
du/dt等于Au这个方程组
du/dt等于Au这个方程组
我们无论如何我们总有是有解
ut等于At去乘以U0
我们在前面的例子已经求过
把A给拆成一个对角阵
加上一个幂零阵
那么我们可以把eAt求出来
是这个矩阵
那U0现在是y0 y一撇0
我们把矩阵和向量乘出来发现
它可以写成这种样子
et去乘以y0 y一撇0
加上tet去乘以这个向量
那我们未知函数yt呢
对应Ut的第一个分量
所以我们把第一个分量拿出来
看看右手边它就是et和
tet的线性组合
组合系数分别用
y0和y一撇0表示出来
这跟刚才的求解结果是一样的
从这个求解结果里
也可以看得出来
et和tet是两个线性无关的解
当有重根的情况下
elambdat和telambdat
是对这种情况下的
两个线性无关的解
我们用它来给出方程的通解
好 这只是一个很简单的例子
大家在接下来去学习求解
齐次线性微分方程的时候
我们会再看到更加一般的情形
那值得注意的是
它背后隐藏的事实
总是去跟du/dt等于Au
这样的矩阵
向量值的方程组给联系在一起
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
