当前课程知识点：线性代数(1) > 第一讲 向量及其运算 > 1.5 向量空间的线性组合 > 1.5 向量空间的线性组合
给定m个n维的向量v1到vm
我们有这个数c1到cm是实数
那么我们把c1 v1加上cm vm
叫做是这个向量v1到vm的
一个线性组合
因为这是做了向量的数乘
以及加法
这是所谓的一个线性组合
我们给一个简单的例子
给定了这个向量i j k
分别是1 0 0 0 1 0
0 0 1这样的三个
R3中的三维空间中的向量
i减掉j加上k等于1 负1 1
这个是向量i j k的一个线性组合
有一个自然的问题是说
我给定了一组向量v1到vm
那么它们的全部线性组合
是什么样的集合
我们给定一个向量u 1 1 1
这是一个非0向量
它的全部线性组合呢
根据定义是任意一个实数
去乘以这个向量所构成的集合
我们说这个集合不是别的东西
是u作为一个方向的一条直线
这是我们u的话
那么c在任意变动
我们就得到沿着这个u的
一条直线
那看两个向量u 1 1 0
和v 0 1 1
那它的全部线性组合呢
根据定义是cu加上dv这个cd是
任意的实数
那就等于c c+d d
我们发现这样的一个集合
它其实是长在三维空间中的
一个平面x-y+z等于0
我们注意到这样的两个向量
我们说这样的两个不共线的向量
它的全部的线性组合构成
一张平面
再来看下面的两个向量
u还是1 1 0
v我们现在变成根2 根2 0
它们的全部线性组合
根据定义是cu加上dv
那于是就等于c加上根2d
c加上根2 d 0
其中c d是任意的实数
我们发现这样的两个向量
是共线的
于是这个线性组合给我们的是
一条直线x等于y z等于0
两个共线的向量
它的全部线性组合是一条直线
接下来我们来看三个向量
u 1 1 0
v等于0 1 1
w等于1 0 1
它们的全部线性组合根据定义呢
是cu加上dv 加上ew
这个c d e是任意的实数
我们说这样的
三个向量是不共面的
它们可以张出来整个的三维空间
那么从另一个角度上来看
我们说你任给一个向量x y z
它都可以表示成u v w
下面的线性组合
于是我们说三个向量的
全部线性组合是整个三维空间
u和v不变
w等于1 2 1
这三个向量的全部线性组合
我们注意到它等于c+e u
加上d+1 v
这是因为w它可以写成u+v
它是落在v w所张成的
那张平面上
所以 这样的三个向量
它的全部线性组合
依然还是一张平面
我们总结一下我们说
在三维空间中
在一般情形下一个非零的向量
两个不共线的向量
或者是三个不共面的向量
它们的所有线性组合呢
分别是一条直线
一张平面或者是整个的三维空间
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
