当前课程知识点：线性代数(1) > 第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义 > 18.2.1 求逆矩阵公式 > 18.2.1 求逆矩阵公式
好 大家好
我们现在用引言中的那个结论
给出行列式的一些应用
我们先来看A如果是可逆矩阵
我们通过引言中的定理
我们可以给出
A的逆的一个求解公式
设A等于aij
那么我们可以构造
如下这样一个矩阵
这个矩阵呢是把A的每一个元素
换成它的代数余子式
那么得到这个矩阵呢
我们叫做代数余子式矩阵
然后我们把这个矩阵再做个转置
这个转置就是我们的伴随矩阵
大家注意这块有个转置的符号
也就是说这个实际上对应的是
A的第一行的代数余子式
我们来看一个具体的例子
这是个三阶矩阵
那么我们可以算出
它们相应的代数余子式
那么这时候我们写
A的伴随矩阵的时候呢
我们要注意就是
把A的第一行的代数余子式
写到伴随矩阵的第一列
-15 -21 -52就写在第一列
第二行的代数余子式写成第二列
就是做个转置
那么引入这样一个伴随矩阵呢
它的作用是告诉我们
如果A是可逆的话
A的逆就是伴随矩阵
除以A的行列式
大家注意
我们定义伴随矩阵的时候
并没有要求A是可逆的
那么当A是可逆的时候呢
伴随矩阵能够帮助我们给出
A的逆的一个求解公式
我们在前面呢
学过怎么来求一个矩阵的逆
当A和In放在一起的时候
A变成单位阵
那么In呢就变成A的逆
就是这里面是行变换
那么现在呢
这个定理给出了一种
公式的求解A逆的办法
因为伴随矩阵它的每一个元素
我们都可以确切地使用
行列式的求解公式算出来
比如说上例中的
A的行列式等于-154
那么A的逆就是它的伴随矩阵
除上-154
下面我们来证明这个定理
这个定理的证明呢
它利用了引言中的
那个关键的结论
也就是说 如果我们用A的第i行
去乘上另外一行的代数余子式
那么加起来就是等于0
如果A的第i行乘上它自己的
代数余子式再加起来
就等于A的行列式
好 我们来看A乘上伴随矩阵
那么我们来具体看一下
新的这个矩阵我们记作tij
每个元素
那么tij呢实际上是A的第i行
乘上伴随矩阵的第j列
那么A的第i行呢是ai1 ai2 ain
伴随矩阵的第j列是Cj1 Cj2 Cjn
所以tij就等于这样一个结论
那么我们根据引言中的定理呢
我们可以看到
这个和实际上是A的第i行
和第j行的代数余子式相乘
这些代数余子式恰好
是第j行的代数余子式
那么如果i等于j的时候
那么这个和是A的行列式
如果i不等于j呢
那么这个和呢就是0
所以我们可以看到
A乘上它的伴随矩阵呢
实际上等于一个对角阵
这个对角阵的每一个元素
都是A的行列式
那么在这一步以后呢
我们把A的行列式这个数
移到右边去
左边我们就得到了
A的行列式分之一
乘上A的伴随矩阵
所以这个呢就是A的逆
好 我们刚才已经说明了
A定义伴随矩阵呢
并不需要A是可逆的
所以这样一个公式呢
跟A是否可逆没有关系
只是在A可逆的时候呢
我们可以确切地表达A的逆
用A的伴随矩阵
那我们现在来看一下
A的伴随矩阵
当A不可逆的时候
A的伴随矩阵会是怎么样子呢
我们说如果A是一个n阶方阵
我们来求
A的伴随矩阵的秩的可能性
也就是说我们看一下
当A是可逆的时候
那么A的伴随矩阵
当然也是可逆的
因为A的伴随矩阵
除以A的行列式就是A的逆
所以A的伴随矩阵秩也是n
如果A是不可逆的
那么我们分几种情况
第一种是A的秩就是n-1
那么这时候呢
我们可以看到刚才的
我们有A乘上A的伴随矩阵
等于A的行列式做对角线元素
这样一个对角阵
这个并不依赖于A是否可逆
所以我们可以看到
A乘上这个伴随矩阵等于0
那么这个告诉我们
A的伴随矩阵的每一列
都是Ax等于0的解
所以它的每一列
都是A的零空间中的一个向量
但是A的秩是等于n-1
这告诉我们A的零空间
它的维数是一维的
也就是说A的零空间中
所有的向量
都是某一个非0向量的倍数
所以这样子我们可以看到
A的伴随矩阵的每一列
都是某一个非零向量的倍数
那么这时候有两种情况
A的伴随矩阵呢
它是不等于0的
那么它的秩就是1
还有一种呢
就是它本身就是零矩阵
那我们现在要说明
A的伴随矩阵
当秩等于n-1的时候
A的伴随矩阵不会等于0
我们怎么来观察这一点呢
我们可以看到
当A的秩是n-1的时候
那么A必然有n-1个无关的行
那么我们把A的这个
n-1个无关行取出来
我们就可以得到一个小矩阵
那么这个子矩阵呢
是用A的n-1无关行组成的
列没有变化
那么这个矩阵我们看到
它应该是一个行满秩的矩阵
这个矩阵呢它的秩也是n-1
这个矩阵它有n-1行 有n列
那么这样一个矩阵呢
它并不是一个方阵
所以呢
我们再来看A0这个矩阵
因为它的秩是n-1
我们来看它的列
它的秩n-1告诉我们
它的n列中应该是线性相关的
那么这n个列中呢
有n-1个无关的列
那么
我们把这n-1个无关列取出来
也就是说从A0中取出
n-1个无关的列
那么这样得到了一个
A0的子矩阵
我们可以看到它有n-1行
有n-1列
因为我们这个矩阵呢
它的列是线性无关的
所以A1它是一个可逆矩阵
这样一个矩阵
它是n-1阶的可逆
所以A1的行列式不等于0
这告诉我们A的伴随矩阵呢
中有一个非零元
就是A1的行列式
因为它是n-1阶的
所以它对应着某一个代数余子式
这样我们可以推出了
A的伴随矩阵不等于0
所以A的伴随矩阵的秩是等于1
也就是说A的伴随矩阵
实际上是一些成比例的列
每一列互相成比例
好 我们再来看
A的秩如果是小于等于n-2
那么这时候我们看A的
跟刚才讨论的一样
那么A的任何一个n-1阶子矩阵
都不可逆
所以任何一个代数余子式都是0
从而我们推出
A的伴随矩阵都等于0
所以大家可以看到
当A不可逆的时候
A的伴随矩阵
实际上它的结构是比较简单的
它要么是等于0
要么是一个秩为1的一个矩阵
我们知道一个秩为1的矩阵
实际上呢可以写成一个
一列乘上一行的形式
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
