当前课程知识点：线性代数(1) > 第九讲 求解非齐次线性方程组 > 9.1 复习 > 9.1 线性代数复习
大家好
我们知道Ax等于b的解向量集合
是一个特解加上Ax等于0的解
Ax等于0的解从几何直观上
是一条直线或者平面
或更一般的超平面
那么Ax等于b的解呢
实际上是跟它相平行的一条直线
平面或者超平面
上一讲我们学习了
Ax等于0的求解过程
这一讲我们学习如何求
Ax等于b的一个特解
进一步我们也分析
通过秩来分析Ax等于b的解的情况
确切地说
我们学习秩 方程组
方程的个数
还有未知量的个数
这三者的关系
是如何制约Ax等于b的解
通过这一讲内容
我们就可以回到
线性代数的中心问题
就是如何来求解Ax等于b的一般解
有了这一讲内容
我们基本上能够回答了这个问题
好
下面来开始这一讲的主要内容
大家好
这一次我们学习第九讲
求解非齐次的线性方程组
我们先来复习一下前面的部分
在前面呢
我们学习了
齐次方程组的求解问题
考虑一个A是一个m乘n阶的矩阵
我们来考虑Ax等于0的解
那么我们做的办法呢
是先对A进行行变换
把它变成一个阶梯形的U
然后U再进行行变换
就是U一般呢它是这个样子
阶梯形的
然后这个拐角处都是些主元
那么U并不能保证它上面的部分为0
所以我们继续化行变换
使得每一个主元上面的部分都是0
就是上下全是0
就是在主元所在的列
只有一个非零元
而且把主元我们最后都单位化
变成1
所以最后就化成的形状
是U0这种情况
然后我们再进行列对换
把它变成一个这样
很统一的形式
这个数r呢
我们把它叫做A的秩
在这里面呢
我们得到一些数量关系
就是主元所在的列对应的变量
因为主元所在这对应的列
对应的这些变量我们叫主变量
我们说主列的个数
等于主元的个数
又等于主变量的个数
也等于A的秩
等于无关行向量的个数
也等于无关列向量的个数
那么我们知道无关列向量的个数
这个实际上就是未知量中
被约束的变量个数
也就是说不自由的变量个数
或者说就是主变量的个数
好 得到U0以后呢
我们可以看到
U0的主列我们假设
设为i1到ir列
则A中的相应的i1到ir列
线性无关
也就是说从A到U0
这个行变换的过程呢
不改变相关列的线性关系
我们来看个例子
A是一个三行五列的一个矩阵
它通过行变换
主要我们只进行了行变换
变成U0
我们给它标上记号
A的第一列我们用α1表示
一直到α5
U0呢 它的五列我们用β表示
β1到β5
那么我们U0的这些列的关系
我们看得很清楚
比如说β1和β3是主列
它可以表示其他的列
比如说β4等于2倍的β1
加4倍的β3
这主要是这个2是这个1的两倍
这个4是这个1的4倍
所以我们可以看出了这个关系式
那么相应的A中呢
相应的列
α4就应该是α1和α3相应的倍数
完全相同的关系式
第二点我们看到
N（A）中无关解向量个数
是n-r
那么这个基础解系的向量呢
就是我们的无关向量个数
它呢一一对应于自由变量
就是一个自由变量
对应的一个基础解向量
这个是一一对应的
我们来看
当时是怎么通过自由变量
给出基础解向量的
我们还是以上面这个例子来说
在上面这个例子中呢
一三列是主列
相应的x1 x3是主变量
另外的呢x2 x4 x5是自由变量
那么我们取x2等于1
就是一个自由变量为1
其他的为0
这样我们就分别得到了三个向量
代进去
得到了三个向量
这三个向量就构成了
Ax等于0的一个基础解系
N（A）中的解
就是这三个向量的完全线性组合
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
