当前课程知识点：线性代数(1) > 第六讲 LU分解 > 6.7 PA=LU分解 > PA=LU分解
那我们已经谈到说
对于即便是一个矩阵是可逆的
它LU分解未必是存在的
可是我们如果是经过换行
去做LU分解的话
也就是说A可逆的话
我们下面要说明所谓PLU分解
一定是存在的
那么来看一下A是一个可逆矩阵
我们说一定存在着置换阵
这个置换阵负责去调整这个行
使得PA=LU
怎么来看这件事情
我们对这个矩阵的阶数n
来用数学归纳法
n等于1的时候
这个定理显然是成立的
我们来假设n等于k的时候
定理成立
来看n等于k+1的时候
我们说因为矩阵A
是一个可逆矩阵
所以这个矩阵的第一列
一定有非0元
那我们来假设第i行第一列的元素
是不等于0的
于是我们就可以调整第一行
和第i行得到一个新的矩阵A撇
在这个新的矩阵里头
它在11的这个位置上
是一个非0的元素
我们可以用它来消
这个11元素下面的n-1个元素
那么换行的这个过程
我们可以描述成是A撇
等于Pi1乘以A
Pi1是换行
第i行和第1行换行的这个置换阵
那么这个矩阵A撇它也是可逆的因为置换阵Pi1可逆
A又是可逆
两个可逆矩阵的乘积仍然可逆
那么我们可以接下来对A撇
这个矩阵来做消元
使得在11位置下方的
所有的元素给变成0
变成这个矩阵叫A两撇
那这个过程呢
可以表述成A撇
等于这样的一个矩阵
去乘以A两撇
这个矩阵我们用分块矩阵的写法
来描述
那么对角线上都是1
在这个位置上
是我们集中了所有消元的乘数
记成是t这个列向量
好 那在这个情况里头
A1呢它是一个
低一阶的一个可逆阵n-1阶
也就是我们前面的这个k阶的
那由归纳假设
这时候对它来说
它就存在着一个置换阵P1
使得P1A1等于L1U1
就是对A1这个低一阶的矩阵呢
我们可以做行的重排
使得它有LU分解
于是我们来看A撇
它是由A经过换第i行和第1行
来得到的
那A撇这个矩阵呢
我们说它可以经过消元
变成这样的一个矩阵
这是我们的A两撇这个矩阵
这是我们之间的A两撇这个矩阵
好 A1它又有这个性质
所以我们可以把这个性质里头
给转成是P1逆L1U1
那我于是可以把上面这个A两撇
这个位置这个分块矩阵
写成是EP1逆这个分块矩阵
乘以EL1这个分块矩阵
再乘以ai1u1这样的一个
星在这儿这样的一个上三角阵
好 那么这是一个消去矩阵
这是一个置换阵
我们可以把它去
在某种意义上
我们说交换次序
把它换成一个置换阵
和一个消去矩阵的乘积
为什么要这样做呢
我们希望把所有的
描述行的重排的置换阵
放在一边 放在左边
然后我们可以将来
搬到等式的左边来
那么我们希望会出现PA等于LU
我们把所有行重排的矩阵
放到左边来
好 这就是为什么
我们想要去交换一下次序
那么它们这两个矩阵呢
不是交换的
但是我们总可以
大家注意看
这两个矩阵的乘积是相等的
用分块矩阵乘法
很容易可以看得出来
好 这样的话
EP1逆是一个置换阵
那么这个矩阵呢
是一个消去矩阵
这个矩阵和EL1这个矩阵
也是一个消去矩阵
那么它都是对角线上是1的
一个下三角矩阵
它们俩可以合在一起
变成这样的一个矩阵
这个矩阵是一个下三角矩阵
对角线上都是1
好 这个ai1u1这个矩阵呢
它可以充当我们的U矩阵
这个充当我们的L矩阵
这是我们的L 这是我们的U
那我这个EP1逆这个矩阵
我搬到左边来
和这个Pi1放在一起
两个置换阵的乘积
成为是一个置换阵
这充当我们的P矩阵
对可逆矩阵
k+1阶的可逆矩阵A
我们可以通过行的重排
用P来表示做这个LU分解
那么归纳假设成立
从而我们对任意一个可逆阵
我总可以调整行
使得它有LU分解
于是也就是说
我总有PA等于LU这件事情
我们来看简单的例子
那A是这样的一个矩阵
一个三阶的矩阵
我在1 1的这个位置上是等于0
我想要对它进行消元
那我需要去调整这个行的次序
我第一行和第二行先交换次序
那我在这个位置上
我就变成了是1
因此我可以用1来消它
下方的这个元素2
那我第三行要减掉第一行的2倍
下面就是第三行
减掉第二行的3倍来消这个元素
于是我们现在就变成了
一个上三角矩阵
那我在换行呢
我做的是第一行和第二行交换
好 于是刚才的过程
我就可以描述成是PA等于
这是我们的最终的U矩阵
这是我们做的消去的过程
我们这儿有一个l31
这个乘数是2
l32是3
因此31 32
我们可以有这个下三角矩阵L
于是我们就有PA等于LU
再来看一个简单的例子
那这是一个四阶的矩阵
我们想要对它来做LU分解
那我们注意到这个四阶矩阵
它在这个位置上是0
这个位置上是0
那我们来交换第一行和第三行
使得在1 1这个位置上
是一个非0的数
然后用它来消下面的这个元素2
那么需要第四行减掉
第一行的2倍
从而这个下面全消成0
那么接下来在这个矩阵
三阶矩阵里头呢
它的第一行和第二行仍然是0
所以我们还要做换行
我们把第二行和第四行交换
从而这个位置上是一个非0的数
那好 我们再接着来看
下面再做消元
那我第四行减掉第三行的三倍
从而消元消成一个上三角矩阵
那这个过程呢
说我这个上三角矩阵
是先通过了1 3去交换行
然后去做一次消元
做通过2 4去交换行
再做一次消元
用矩阵语言的描述就是说
A先做换行再做消元
再做消元
那A呢就等于这一系列矩阵
它的逆矩阵
我们搬到这边来
逆矩阵的次序要做一下交换
好 这个是P43逆矩阵
先去和U相乘
我E43 -3的逆矩阵是E43 3
P42的逆矩阵是P42自己
E41-2呢它的逆矩阵是E412
P31这个逆矩阵是P31自己
好 我们现在是换行
和消去混在一起
我们希望做的是说
我把换行的这种矩阵
全都集中在左边
然后我就可以搬到等式
A的左边来
从而得到这个PA等于LU分解
那么想要去做调整
E41和P42你来做调整
我们可以看到
这个E412这个矩阵和P42相乘
它等于P42这个换行矩阵
和E212相乘
那么这个和我们前面定理的证明
也是一致的
这件事情也很容易可以看得到
好 如果我们有了这样的
一个关系式之后
我就可以把P42和P31
我们都集中在一起
消去矩阵集中在一起
换行矩阵集中在一起
那我们知道这个E21 2
E43 3这是消去矩阵
消去矩阵的乘积
那么是得到一个下三角矩阵
对角线上是1
这是我们充当我们的L矩阵
好 这个P31 P42
这两个换行矩阵呢
它们的乘积是一个置换阵
可逆矩阵我们搬到A的左边来
我们就得到
我们可以说A等于PLU
或者是说P逆A等于LU
好 这里头这个P这个矩阵
31做交换
第一行和第三行做交换
第四行和第二行做交换
这是由四阶的单位阵
得到的这样的一个置换阵
我们L这个矩阵呢
是E21和E43是相乘
那么它是在21和43的位置上
分别是我们的乘数2和3
好
U是我们刚才得到的这个
上三角矩阵
那么在这个例子里头
我们也可以看到
刚才定理证明的一些想法
LU分解是我们接触到的
第一类矩阵分解
它看似平淡无奇
却在矩阵计算中具有重要的地位
希望大家认真体会
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
