当前课程知识点：线性代数(1) > 第十五讲 Gram-Schmidt正交化 > 15.1 引言 > 15.1 引言
大家好
我们大家回忆一下
前面所讲过的内容
我们引入向量空间
给出向量空间的一组基
那么从某种程度上
这组基就是它的一个坐标系
但是这个坐标系
在我们通常的情况下
不一定是垂直的直角坐标系
所以我们在第12讲
我们引入了垂直 正交这种概念
那么在这一讲中呢
我们将讨论怎么把
一个非直角的坐标系
转化成一个直角坐标系
那么这种方法呢
我们叫做Gram—Schmidt
正交化方法
我们将在这一讲中
给出这种方法的详细解释
那么它的矩阵形式呢
我们叫QR分解
我们将在下面的内容讨论这些
我们在前面几讲讨论了
向量空间的正交性这些概念
那么
我们当时的一个非常重要的动机
就是希望给出坐标系
直角坐标系之间的一种转换
因为我们通常大家使用的
都是直角坐标系
如何把一组非直角坐标系
转化成直角坐标系
那么这样一个概念呢
我们希望通过向量空间里面
也有一个非常确切的描述
我们这一节内容
就是来考虑这个问题
我们设A是m乘n阶的阵
若Ax等于b呢
假如说它无解
那么我们当时考虑的是法方程组
这是我们求出这个p
等于A乘x hat是b在CA上的投影
如果CA等于CA一撇
那么我们可以把p
写成A撇y的形式
这个y呢是A撇T A撇y
这样一个法方程的解
也就是说我们把这样一个法方程
转化成了这个一个法方程
因为A改成A撇以后
那么如果A撇T和A撇相乘
它的形式比A转置A更简单
那么这样我们算出y hat就容易
从而p就更容易计算了
我们来看一个例子
b等于-4 -3 3 0
我们来求一下
它在A上面的列空间上的投影
那么要求这个投影呢
我们是考虑法方程
这个A是一个列满秩的
所以呢A转置A是可逆矩阵
这时候x hat
我们可以求出唯一的一个解
从而最终我们算出投影点p
等于1/2 -7 -3 -1 3
那么这个计算呢
大家看稍微有点麻烦
如果我们考虑的是A撇
是这样一个形式
大家可以检查一下
A撇和A呢
它是同样的一个列空间
那么
但是A撇它的转置
乘上A撇自己呢
它的形式就简单多了
它是个对角阵
大家把这个和这个对照
那么这时候我们算一下
A撇T A撇y hat A撇T b
那么这时候我们由这个
算出y hat就容易了
从而我们算出这个p
也是相对容易了
我们来看一下A撇T A撇
它之所以比ATA简单
原因是因为A撇
它的两列正交的
我们来看一下A撇是α1 α2
我们比如把它的两列叫这个
那么我们来看A撇T乘上A撇
实际上呢等于α1 α2的转置
乘上α1 α2
那么这个乘完以后呢
我们就得到了α1的转置α1
α1的转置α2 α2的转置α1
α2的转置α2
那我们可以看到
因为α1和α2是垂直的
所以这两个量呢
都变成0了
从而A撇T乘A撇呢
就相对比较简单
这样给出我们一个提示
就是我们找A的列空间中
一些相互正交的向量
它们构成的
作为A列空间中基呢
它们形成的矩阵相对来说呢
容易算出法方程的解
所以呢
我们怎么把一组A的无关的列
组成一组新的正交列
这是我们这一节
考虑的一个主要问题
那么我们把这个问题更确切化
就是给定Rn中的一个子空间V
v1到vk是V的一组基
我们希望把它变成一组正交向量
w1到wk
那么把一组无关的向量
变成另一组正交的向量
这种变法很多
所以我们要加一些条件
首先这些向量呢是正交的
相互正交
第二条呢
我们要求v1到vt生成的子空间
w1到wt生成的子空间是相等的 这个t从1到k
那么我们有v1生成的子空间
是一条直线
和w1生成的子空间是一样的
也就是v1和w1之间
只是个倍数关系
它们在同一条直线上
v1和v2生成的子空间
这样一个平面
和w1 w2生成的平面
是同一个平面等等
满足这些条件
那么如果你把v1到vk
看作V的一个坐标系
那么我们等于把这个坐标系
给它转化成了一个直角坐标系
这就是我们这一讲的主要目标
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
