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大家好
我们现在来学习7.2节
向量空间和子空间
刚才我们在前面引言中我们说了
我们要引入一个向量空间的概念
那么直观上呢
我们大家都有二维
三维空间这种概念
那么向量空间这个概念
必须要跟我们通常实际中的
大家感觉的二维
三维这种空间一定要是协调的
那么对我们来说呢
在中学学过向量
那么向量构成的坐标系
整个的形成的一个空间呢
我们当时在前面也用R2
R2就代表的是我们这个平面
就是由二维向量
构成一个的平面R3
这是三维向量构成的一个平面
那么我们先考虑一种简单的情况
就是作为R2 R3
或者跟一般的n维空间
它里面的子空间的概念
我们就有如下定义
我们说设V是Rn的一个集合
一个子集合
它是由一些n维的列向量组成
那么如果V关于向量的加法
我们知道Rn
我们已经定义过加法和数乘了
如果V关于向量这个加法
和数乘呢是封闭的
那么用数学符号写就是说
任意取V中的两个向量αβ
属于V
然后我们任意的取c1c2
两个实数
那么我们把αβ
做任意的一个线性组合
得到的新的向量还属于V
那么就把V称为一个向量空间
或者呢
或者我们说V是Rn的一个子空间
那么我们得到第一个性质就是
这样的一个向量空间
它满足什么性质呢
0向量 就是n维空间中的0向量
是属于这个向量空间V的
为什么呢
因为我们任意取一个α属于V
因为V是一个向量空间
它对于加法和数乘是封闭的
那么马上我们就可以看出-α
就是-1乘上α
当然也应该也属于V
那么它又对加法也封闭
所以α和-α都属于V
那我们马上能推出α+
负α应该也属于V
但这个呢是等于0的
是0向量
所以呢我们说0向量是属于V的
所以我们判定
是不是一个向量空间
第一条先看0向量是不是属于它
好 我们来看这个例子
这个例子说V是等于R3中的
一个点的集合
这个点的集合呢是满足
2x1+x2-X3等于0
那么这是一个平面
我们大家可以看到
这是一个平面
那么我们刚才说了
首先我们要判定
0是不是属于这个V
那么看这个平面它过原点
所以这个0
也就是说原点属于这个平面
或者说0这个向量属于V
那么第二步
我们还要看加法和数乘封不封闭
那么随便取两个向量0 1 1
1 0 2属于V
那么我们可以验证一下
它们确实也属于V
当然我们判定它是个向量
我们不能只取这两个
我们最后可以通过任意一个验证
我们可以看到V
它确实是一个向量空间
我们看如果把二维空间中
就是一个平面上
我们把原点抠掉 抠掉原点
那么我们得到的
就不是一个向量空间
因为0被抠掉了
我们再看另外一个例子
这个呢也不是一个向量空间
那么这个我们画一个图呢
就是这样子的
这条直线因为它也不过原点
但是呢
我们并不是说过原点
就一定是向量空间
就是过原点也不一定是向量空间
比如说我们看这个例子
这个是y等于x的绝对值 这个
我们把这条折线上
所有的点拿过来
那我们就看到这条折线呢
就是y等于x的绝对值这条折线
它并不构成一个向量空间
我们写成集合呢
就是V等于xy
y等于绝对值x
这个呢它也不是向量空间
为什么呢
我们还是按照加法
和数乘的封闭性来验证
我们可以看到1 1它是属于V的
但是呢我们给它乘上个-1
那就是-1 -1
这个呢这个1 1是在这儿
-1 -1在这儿了
那么它当然不属于这个
所以它不属于V
所以过原点也不见得是向量空间
那么这是一个
给大家通过Rn这样一个实例
那么我们来看
更一般的定义应该是什么呢
更一般的定义是这样子
一个实向量空间呢
它首先是个向量的集合
注意我这是打引号的
这个是抽象的一个向量的概念
是比我们这个直观的那个向量
更一般的这个集合
那么这个集合它要对加法和数乘
这个加法我们也要打引号
因为有时候这个加法呢
根据这个集合的不同
可能是一个很抽象的
一个加法的概念
还有这个数乘
那么这个数乘呢
我们因为是实向量空间
我们用的这个数都是实数
就是这些集合关于某种运算
就是加法和另外一种数乘
这两种运算是封闭的
或者简单的说线性组合封闭
而且要满足我们在第一讲中
1.7节说过的那八条性质
比如说交换性
比如说αβ属于V
那么α+β呢等于β+α
这种交换性
又比如说我们取一个k属于实数
分配律k(α+β)等于kα+kβ
要对这些满足
注意我们这一块
这写的加号和这个数乘呢
都是抽象的
因为我们现在考虑
是个一般的定义
所以就比较抽象
我们来看几个例子
第一个例子是所有矩阵
n阶矩阵
n乘n的实方阵的全体
那么这个实方阵全体呢
它的加法呢
当然是矩阵的加法了我们是按照
那么它对加法和数乘是封闭的
那么它的这八条性质
比如说交换性 分配律等等呢
那我们都可以直接验证
所以这个确实是一个实向量空间
第二个是我们取一个三维向量
然后呢这个三维向量
是1 2 1这样一个向量
我们说所有跟这个1 2 1
垂直的三维向量的全体
那么大家从这个图上可以看到
跟1 2 1垂直的
三维向量的全体
实际上是一个平面
而这个u呢
正好是这个平面的法向量
那我们可以看到这个平面
也是过原点的
那么从我们直观呢
这个当然它也是个向量空间
它的加法和数乘呢
就是我们通常向量的加法和数乘
好 我们再来看这个例子
这个例子中是所有的
这样一个一元函数
满足它的四阶导数是等于0的
那么这时候对于这样一个集合
它的抽象的向量
抽象这个向量的概念呢
就是这些函数
一个y等于f(x)就是一个向量
那么它的加法呢
那当然是函数的加法
它的数乘呢
当然是一个数去乘上这个函数
那么说这个集合呢
它关于我们刚才说的加法和数乘
它也是封闭的
比如说f y1等于f1(x)属于V
y2等于f2(x)属于V
那么我们可以验证
这两个相加还是属于它
因为f1(x)加上f2(x)呢
我们对它求四阶导数
它当然应该是f1的四阶导数
加上f2的四阶导数
所以呢还是0
这样我们就推出来了
y1+y2还是属于V
同样的道理呢
我们也可以验证
它的数乘是封闭的
我们再看子空间的概念
对于Rn呢
刚才我们说了
我们定义了它的子空间
也就是说对加法和数乘封闭
那么现在的道理是一样的
如果我们
已经给定了一个向量空间
那么它的子空间是什么呢
也是一样定义的
就是说刚才我们这个V
取的是Rn
那么然后呢我们说这个W
那么现在这个V
是一般的一个抽象的向量空间
只是一个抽象的向量空间
那么我们说W是V的一个子集
那么这个子集呢
关于V的加法和数乘封闭
注意这句话
是关于V的加法和数乘封闭
也就是说W所用的加法和数乘
是V里面的加法和数乘
那关于这个封闭呢
我们才说W是
这应该是V的一个子空间
是V的一个子空间
那我们来看一些例子
比如说三维空间中的
子空间有哪些呢
第一个就是它自己 平凡的情况
第二个就是原点
第三个就是过原点的平面
因为子空间硬要过0那个向量
第三个是过原点的直线
那么这四种情况
实际上我们从维数上考虑
这个是三维的
这个是0的维的
这个是2维的 这个是1维的
我们在后面会解释
这个维数的确切含义
现在我们从直观上来想
就是一个通常的直观的概念
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
