当前课程知识点：线性代数(1) > 第一讲 向量及其运算 > 1.8 两个不等式 > 1.8 两个不等式
关于向量的这个点积呢
我们有两个很重要的不等式
刚才cos theta两个向量的夹角
是等于向量的点积
除以向量的长度 乘积
那我们知道这种情况
这个公式我们要求v和w
都是非0向量
那么在这种情况下
我们知道cos theta不管怎么说
它是绝对值是小于等于1的
所以我们就有两个向量的
点积的绝对值来的要比
它们长度的乘积来的要不大
那么当这个v和w
其一是等于0向量的话
这个等式是自然成立的
当等号成立的时候
当且仅当cos theta应该是等于1的情况
绝对值等于1的情况
也就是theta等于0
或者是theta等于π的情形
那么这时候呢
我们一个向量
是另外一个向量的倍数
那么这个简单的不等式
就是Cauchy—Schwarz不等式
这是在数学里头
最重要的一个不等式之一
它首先是由法国数学家
Cauchy1821年发现的
后来由俄国数学家
Bunyakowshy于1859年重新发现
最后又由德国数学家
Schwarz于1886年再次重现发现
我们现在往往把它叫做
Cauchy—Schwarz不等式
它可能有不同的变形
最基本的形状就是对
向量的点积的绝对值
要来的比向量长度的乘积
来的要不大
三角不等式有明确的几何意义
向量v+w
那么三角不等式是说
v+w的长度来的要比v的长度
加上w的长度来的要不大
也就是说三角形的两边长之和
大于第三边长
等号成立的时候呢
等价于v和w之一
是另外一个向量的非负的倍数
这有一个简单的证明
我们说v+w的模长平方
等于v+w和自身来做内积
做点积
那么拆开来以后
就是v的长度平方
加上二倍的v点积上w
再加上w的模长平方
v和w去做点积呢
它来的一定要比v和w
做点积的绝对值来的要不大
那么根据cauchy—Schwarz
不等式呢
这个v和w做点积的绝对值
要小于等于v的长度
乘以w的长度
这是Cauchy—Schwarz不等式
那么这一项呢
它就等于v的长度
加上w的长度括号的平方
等号成立的时候
要当且仅当
这两个不等号都要成立
也就是说v和w做点积是正的
它是等于v的模长
去乘以w的模长
那这个就等价于v和w之一
是另外一个的非负倍数
我们来看简单的一个题目
v呢是等于向量a b
w等于向量b a
我们由Cauchy—Schwarz不等式
很容易可以看得出来
我v和w做点积
要小于等于v的模长
去乘以w的模长
也就是说2ab
小于等于a方加b方
这当然是一个很简单的式子
那么如果我们令x是等于a方
y等于b方的话
这个简单的式子就可以得到
根下x y小于等于二分之x+y
也就是所谓的几何平均
不大于算术平均
再来看一个简单的例子
如果给定向量v的长度是等于5
向量w的长度是等于3
我们想要看v减掉w
这个新的向量
它的长度最小和最大可能的长度
首先呢
v减w的模长平方
打开来以后是v的模长平方
减掉2倍的v和w做点积
加上w的模长平方
由Cauchy—Schwarz不等式
我们知道这个v和w做点积
是来的比v的长度
去乘以w的长度
来的要小于等于它
然后大于等于负的v的长度
乘以w的长度
那么我们把这个式子
代入到上面的v减w的
表达式里头去
我们说v减w的模长平方
要小于等于v的长度
加上w的长度括号的平方
大于等于v的长度减掉w的长度
括号的平方
那就给出来的最大值和最小值
在这种情况下
v减w我们开平方之后
它的长度小于等于8
大于等于2
好 这是两个简单的例题
对Cauchy—Schwarz
不等式的应用
这节课我们讨论了向量的定义
加法 数乘以及点积运算
并且介绍了向量空间
和向量的线性组合的概念
下节课我们将以此为基础
来讨论线性方程组
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
