17.1 行列式计算公式与展开定理在线视频

大家好 上一讲我们学习了

行列式的定义

这一节我们学习行列式的

两种计算方法

一种是跟置换矩阵相关

给出了行列式的一个公式

另一种呢

是把n阶行列式

转化成n-1阶行列式

这样递归的计算

我们下面来看这两种计算方法

在上一讲

我们学习了行列式的定义

和一些基本性质

使用这些基本性质呢

我们能求一些行列式

但是呢

好像我们能求的范围不大

所以我们这节课呢

我们想考虑一下

一般行列式的计算方法

我们先来看一个例子

这是一个三阶的行列式

那么我们对它进行拆分

我们先来看它的第一列

我们可以把它想成两个向量的加

a11 a21 a31

它可以写成a11 0 0

再加上一个0 a21 a31

那么根据这样列向量的拆分

我们就得到了行列式的拆分

那么得到这个

后面两列都没有动

那么我们继续往下拆分

这时候呢比如说第一个

我们可以把它这一列

我们可以把它想成

a11 a22 a32

我们可以把它写成

a11 a22 0

再加上0 0 a32

那么我们又可以往下这样拆分

就得到了这样两个

那么相应的这些呢

我们也可以继续地往下拆分

比如说这个

我们就可以把它再拆开

那么我们拆的最后原则呢

就是保证每一列

只留下一个aij

通过这样不断拆分呢

我们可以保证这一点

就是每一列只留下一个aij

那么大家可以看到

如果我们比如说

我们第一列留下了a11

第二列留下了一个a12

第三列留下一个a23

比如这样子

那如果拆分中

拆出这样一个行列式呢

我们可以看到

它的第一列和第二列是成比例的

所以呢它必须是0

这个提示我们呢

我们在所有的拆分中

如果每一列留的aij

有两列的aij是同样的

在同一行中

那么这样就会导致它成比例

成比例

所以我们最后拆分以后

可能不为0的项

只有是不同行的

每一列留下的都要带不同行的aij

所以最后我们得到了只有6项

在第一列中我们取第一行的

第二列中取第二行的

第三列中取第三行的

就是要保证

它们实际上是在不同行不同列的

就是说不同行不同列的aij

才可能保证这个行列式不为0

那么我们把它们都提出来以后呢

就是这些只留下了一些1 1

这些1的位置呢

我们看到

正好是在不同行不同列的1

所以这些实际上大家可以看到

实际上都是一些置换阵的行列式

那么这些1所在的位置呢

对应的这些小脚标

比如说这是2 3

那么就在第二行第三列有一个1

比如说这是3 2

那么就在第三行第二列有一个1

因为它们正好是从这块提出来的

这样呢

我们整个这个矩阵的行列式

就得到了

是不同行不同列的元素的乘积

那么正负号呢实际上

也就是说这些置换阵的行列式

我们都知道

它的结果是正1或负1

所以实际上

只是提供它的正号或负号

正负号由置换阵的行列式来给出

好 我们总结一下

它的一般项是在不同行不同列

所以我们如果第一行

取是第i1列的元素

第二行取第i2列的元素

第三行取第i3列的元素

那么i1 i2 i3呢

它们是互不相同的

所以i1 i2 i3

是1 2 3一个重新的排列

比如说我们看一下

在第一个中呢

它取的是1 2 3

第一列和第二列 第三列

第二个中呢

它取的是1 3 2

这是1 2 3的一个重新排列

那么如果这样一个排列呢

实际上是对应的一个置换阵的

这个置换阵呢它的行列式

就是在相应的位置 这块放1

这个1是在第i1列

这一块有一个1

这是在第i2列 这一个是i3列

所以置换阵的行列式呢

如果取-1的话 我们叫奇排列

如果取+1的话 我们叫偶排列

比如说3 1 2

那么它对应的是这样一个形式

2 1 3

也就是说在第一行中

我们在第二列放一个1

在第二行中的第一个位置

放一个1

第三行中

我们在第三个位置放一个1

那么我们可以看到

一般的情况那么1 2到n呢

它有n阶乘个排列

这每一个排列呢

对应着一个置换阵

置换阵的元素呢

它是由这个重新排列给出来的

那么其中置换阵

我们在一个排列中实行一个对换

得到一个新排列

那么相当于置换阵中的某两行

做一个对换

得到一个新的置换阵

那么大家知道

当一个置换阵做对换以后

它的行列式变成一个-1

所以呢原来一个奇排列

当对换一下以后

就变成一个偶排列

偶排列对换一下

就变成一个奇排列

由此我们看到

奇排列和偶排列是一样多的

它们做一个对换

奇偶性就变一次

所以有二分之阶乘个奇排列

还有二分之阶乘个偶排列

一般的呢

我们把这样一个行列式呢

我们可以通过拆分的办法

把它拆分成一些

不同行不同列的元素

得到这种行列式

这样一共有n阶乘个

保证了这些元素在不同行不同列

然后呢

我们可以把这些数都提出去

因为在每一列

只有一个aij

其他地方全是0

所以它可以提出去

剩下的呢

就是这样一个行列式值

这个行列式值呢是取正1或者负1

它取决于

这个排列是奇排列还是偶排列

那么这个呢一共有n阶乘项

例如这样一个四阶的行列式

那么我们可以看到

这一列中呢有两个1

这一列中也有两个1

每一列中都是两个1

所以我们通过拆分

保证每一列中只有一个1

那么我们可以先

拆分以后我们会发现

这一列中拆分呢

可以拆分出一个

第一列拆分出1 0这样一个向量

其他列不动

另外一个是0 0 0 1

这第一列拆分出来的

那么如果第二列

我们看到0 1 1 0

它可以拆分出0 1 0 0

和0 0 1 0

那么大家可以看到

如果按第二列拆分产生的这个

和第一列拆分产生的这个

那么有可能碰在一起

就会导致一个行列式

有相同的两列

所以呢 它们必然取0

所以为了保证这样通过拆分呢

实际留下的只有这两个行列式

就是我们保证它要拆分以后

元素在不同行不同列

那么这两个行列式呢

它们分别是两个置换阵的行列式

第一个置换阵呢 我们来看

这个1呢是在第三列

所以这个1在第二列

所以我们第二个是2

这个是第一列 这个是第四列

那么这个置换阵

到底是取正1还是负1呢

那我们看3 2 1 4

我们实际上不需要直接计算

这个置换阵的行列式

我们可以通过两种办法

一种是把这个置换阵

我们进行行变换

调换把它变成一个单位阵

调换一次正负号变一次

那么我们看它要调换多少次

而这个调换过程中

跟这个3 2 1 4

变成1 2 3 4是一一对应的

3 2 1 4我们可以调换一次

就变成了1 2 3 4

那么相当于呢

从这个行列式矩阵中看呢

它的行列式的第一行

和第三行调换一下

所以呢这个行列式值应该是负1

那么我们来看4 3 2 1

4 3 2 1呢

怎么变成1 2 3 4

那么我们可以先把1和4调换一下

1 3 2 4

然后我们把中间两个调换一下

也就是说从4 3 2 1

调换到1 2 3 4

一共走了两遍

那么走了两步以后呢

那么它的正负号调换两次

而这个正负号是正的

所以我们看到

4 3 2 1也是正的

这个调换过程

跟整个置换阵的调换过程

是完全一一对应的

那么这个行列式的值呢

我们最后得到它等于0

我们在前面已经说过

A可逆呢

当且仅当A的行列式不等于0

所以我们可以看到

这个行列式中的矩阵

它是一个不可逆的

不可逆的意味着它的列

或者它的行是线性相关的

那我们可以仔细检查

发现第一行加第三行

等于第二行加第四行

所以它是一个奇异矩阵

用以上的方法来求行列式呢

它的计算量比较大

那么另外一个办法呢

就是使用递归的办法

就是将A的行的或者列消去

再写成n-1阶的行列式的组合

这样可以不断的把n阶的

化成n-1阶的行列式

再把n-1阶的行列式化成n-2阶的

不断的递归的算

那么为此我们先要定义

余子式的概念

设A是一个n阶方阵

Mij就是把A的第i行和第j列划去

得到的一个n-1阶的矩阵

比如说A是这样一个四阶的方阵

那么M12呢

就是把A的第一行和第二列划去

那么剩下的得到的

一个三阶的矩阵

这个矩阵呢

它的行列式我们称为余子式

如果我们给它加上一个正负号

这个正负号的加法呢

就是前面加上一个-1的i+j次方

那么我们就把它叫做代数余子式

那我们可以看到

每一个aij

它实际上对应着一个余子式Mij

余子式加上正负号呢就是Cij

一个方阵它的每一个元素

对应着一个代数余子式

它是一个数

这个代数余子式呢

实际上是一个

n-1阶矩阵的行列式

带有正负号的

好 我们的定理是说

A的行列式呢

实际上是把A的第i行

A的第i行是这些元素

i是任意取的一个

A的第i行乘上

它们相应的代数余子式

或者我们用列的角度说也行

就是A的第j列

乘上它们的代数余子式

那么当然下面这个

我们可以从A的转置的角度来说

因为A的第i行

就是A转置的第i列

A的第j列就是A转置的第j行

好 我们用实际例子来检查一下

这个定理

这是一个四阶的矩阵

那么来算它的行列式

我们刚才说了

一个矩阵的行列式呢

是任取它其中的某一行

然后用这一行

乘上相应的代数余子式再求和

或者取任意列

乘上相应的代数余子式再求和

那么这个例子中呢

我们不妨取第一行

那么H4呢

就等于第一行的每一个元素

乘上它们的代数余子式

这个就是我们的a11

那么a11代数余子式

就是把a11它所在的行和列划掉

算这个

那么这是a12

a12它的代数余子式呢

按正常的应该是等于负1的

它的第一行第二列

再乘上它的余子式

那么这个值呢 在我们这儿

就等于负的这个行列式

那么这两个行列式本身是三阶的

也不容易一下看出来

所以我们还要继续往下算

那么这时候算的时候呢

从刚才我们这个计算

我们可以得到启发

就是H4的后面

第一行的后面两个元素是0

所以我们根本不需要

算它的相应的代数余子式

就是C13加上0乘C14

这个启发我们呢

如果在某一行中有很多0

或者某一列中有很多0

那么我们可以少计算

它的代数余子式

那么现在我们算这个行列式

那么我们首先呢

对它进行一个行变换

这个行变换以后呢

我们可以看到最后一列

只有一个1

那么这两个行列式

我们知道是一样的

因为做了一个

第一类的初等行变换

那么如果我们按照

最后一列展开的话

这个行列式值呢

应该是最后一列

乘上它们相应的代数余子式

因为它正常应该等于0

乘上它的代数余子式

0在第一行第三列

所以是C13加1

乘以它的代数余子式C23

加上0乘上C33

所以最后就等于

1乘上代数余子式

这个代数余子式呢

它前面的正负号我们看到

等于-1的2加3

这个是-1的2加3 所以是负号

这样我们就算完了

同样的道理我们可以算

后面这个的行列式

最后我们可以计算出

H4的行列式是等于8