10.4 无关性、基与维数的性质慕课视频播放-线性代数(1)-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

好在上一小节

两个例子中我们看到

基的选择可以不同

基的选择而且不是唯一的

但是基所包含的向量的个数

必须是相同的

因为如果不同

我们就没办法说

一个空间的维数

那么这个呢

就是我们下面考虑的

任何两个基中的向量一样多吗

设V是一个向量空间

v1到vn是一组基

w1到wm是另一组基

那么则m跟n必须是一样的

好我们现在来证明一下

假设m不等于n

我们用反证法

那么m不等于n呢

那么要么m小于n 要么n小于m

那么我们不妨取设m小于n

那么根据基定义呢

既然v1 vn和w1到wm都是基

按基的定义

它们是线性无关

而且它们能表示所有的向量

那么从这一点可以看出

这两组基可以互相表示

所以我们写出来

就是w1肯定是

v1到vn的线性组合了

因为w1它当然为是V中的向量

好我们把它都写出来

w2是这样一个

之间呢aij是一些实数

这样一个表达形式呢

n m个表达形式

我们可以把它形式的写成

大家注意这是形式的

只是便于我们计算

形式的写成这样子

把它写成一个表达式

w1到wm竖着写

然后等于v1 vn乘上这样一个矩阵

我们来看一下

按照矩阵的乘法

这样的形式呢

w1正好是这个乘上第一列

确实这个没问题

但是我为什么说它是形式的写呢

因为这时候wi和vi

都是一个抽象的向量

它可以是矩阵可以是多项式

所以我们这种写法

只是形式记号上的写法

但是这并不影响

我们确切的来证明这个定理

好 w1到wm

可以用v1到vn表示

那么同样的道理呢

v1到vn也可以用w1到wm表示

那我们也写出来

这个呢 bij也是实数

我们也形式的这样写出来

这个写法虽然是形式的

但是这个矩阵它不是形式的

它确确实实的是一个实矩阵

这样我们总结一下

我们有w1到wm

可以用v1到vn这种基

线性表示出来

表示的所用的数

都集中在这个矩阵里面

v1到vn这组向量呢

可以用w1到wm这组基

线性表示出来

所用的系数呢

总结在这个矩阵B中

这两个等式呢我们来写一下

比如说我们把这个代入这个

或者这个代入这个都可以

那我们实际上得到的下面这个

就是w1到wm等于

w1到wm乘上BA

这个意思就是说

w1到wm这种基它表示它自己

所用的系数是BA

v1到vn也可以用它自己这种基

从新表示用A B

那么我们直观上看

用一组基去表示一组向量

那么所用的系数应该是唯一的

因为那种系数呢

实际上就是被表示的这个向量

是在这个坐标系下的坐标

坐标当然应该是唯一的

所以直观上看

w1到wm这个坐标系下的坐标

就应该是1 0 0 0

所以直观上看BA

或者AB都应该是单位向量

来简单的说一下

比如说w1到w2

我们取m取两个

它用自己可以表示w1到w2

乘上一个

比如说a b c d

好那我们写开以后

我们可以看到

这个是这个乘上第一列

那就是a乘上w1

我们打上箭头

把向量和数分开

a乘上w1加上c乘上w2

然后这个是

b乘上w1加上d乘上w2

好那么形式呢

我们可以看到这个向量

应该跟这个向量应该相等

那么写出来

aw1加cw2就等于w1

那同样的道理

bw1加上dw2等于w2

由这两个式子

我们又注意到

w1 w2是线性无关的

所以我们最后马上能推出

a必须等于1 c必须取0

b取0 b取0 d等于1

所以这样

用这种办法我们可以推出来

BA和AB都是单位阵

只不过一个用的m阶的

一个是n阶的

但是我们从直观上看

B是一个m乘n的 m小于n

所以A它大概形状是这样子的

竖的一个形状

是一个n乘m的

B呢大概是一个扁平状的

是一个m乘n的

因为我们刚才说了m小于n

那么这样两个矩阵乘了

我们看到

我们来看这一项

这样两个矩阵乘了

A是一个竖长条的

B是个扁平的

它们乘了以后等于一个单位阵

那么我们可以看到

这块就出现了一个不合理的情况

为什么呢

因为按照刚才的讲

设m小于n的话

b的解空间的维数呢

或者0空间的维数呢

是等于n-r（B）

而r（B）呢我们看到

它应该是小于等于

m和n中较小的

所以它大于等于

这个n-m就大于0

这样告诉我们

B的零空间肯定有一个非0向量

Bx肯定有非0解

所以ABx等于0就有非0解

但是AB本身是等于单位阵的

这就可以看出一个矛盾的地方

就是x只能取0

因此呢

所以AB等于In这个不可能

所以AB不可能等于In

那么整个矛盾的产生

原因是因为什么呢

是因为我们前面做了个假设

m是小于n的

所以呢

这样我们就最终证明了这个定理这个定理呢

我们有一个非常直接的一个推论

就是我们说了Rn呢

应该是个n维空间

那么这个n维呢

是因为它可以找到n个无关向量

而且按刚才这个定理告诉我

任何坐标系

就是两个不同坐标系

坐标轴的个数应该是一样多的

按照刚才的定理
所以我们可以有这样一个推论

就是Rn中任意n+1个向量

应该是线性相关的

这个我们可以简单证明一下

如果α1到αn+1呢

是Rn中n+1个线性无关的向量

假设能找到n+1个无关的向量

那么我们把这一组向量再扩充

因为这组向量它在Rn中

再扩充就得到Rn中的一组基

那么得到了这组基呢

那么向量的个数

应该至少n+1了

那么这个n+1跟Rn中

我们找的另外一组基

就比如说取1 0 0

到0 0 0 1

这组基有不同的向量个数

那就不可能

所以这个假设应该是不成立的

这样我们就证明了这个

这是另外一种证法

我们不说了

我们在刚才这个过程中呢

我们实际上使用了下面这个注记

就是我们在前面也说过

就是我给你A

Rn中的一组向量 α1到αm

然后我们考虑A

A是一个矩阵

这个矩阵呢

是一个n行m列的一个矩阵

如果我们再行变换的话到U0

那么我们在前面已经说过

行变换并不改变列之间的线性

线性代数(1)课程列表：

总引言

-课前引言

--课前引言

第一讲向量及其运算

-1.1 引言

-1.2 n维向量空间中的点

-1.3 向量

-1.4 向量空间的定义

-1.5 向量空间的线性组合

-1.6 向量的点积、长度

-1.7 向量的夹角

-1.8 两个不等式

-第一讲向量及其运算--1.9 课后作业

第二讲矩阵与线性方程组

-2.1 矩阵与向量的乘积

--2.1 矩阵与向量的乘积

-2.2 可逆矩阵

--2.2 可逆矩阵

-2.3 线性方程组的行图和列图

--2.3 线性方程组的行图和列图

-第二讲矩阵与线性方程组--2.4 课后作业

-第二章讲义

第三讲高斯消元法

-3.1 Gauss消元法（上）

--3.1 Gauss消元法（上）

-3.1 Gauss消元法（下）

--3.1 Gauss消元法（下）

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵

--3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵

--线性代数03++3.2.2置换阵

-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵

--线性代数03++3.2.3初等行列变换和初等矩阵

-第三讲高斯消元法--3.3 课后作业

-第三章讲义

第四讲矩阵的运算

-4.1 矩阵

-4.2 矩阵的加法和数乘

-4.3 矩阵的乘法

-4.4 矩阵的乘法的性质

-4.5 矩阵的方幂

-4.6 关于矩阵乘法的引入

-4.7 分块矩阵

-4.8 矩阵的转置

-第四讲矩阵的运算--4.9 课后作业

第五讲矩阵的逆

-5.1 可逆矩阵的定义

--5.1 可逆矩阵的定义

-5.2 矩阵可逆的性质

--5.2 矩阵可逆的性质

-5.3 初等矩阵的逆

--5.3 初等矩阵的逆

-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆

--5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆

-5.5 矩阵可逆与主元个数

-5.6 下三角矩阵的逆

-5.7 分块矩阵的消元和逆

-第五讲矩阵的逆--5.8 课后作业

第六讲 LU分解

-6.1 LU分解

-6.2 用LU分解解线性方程组

-6.3 消元法的计算量

-6.4 LU分解的存在性和唯一性

-6.5 对称矩阵的LDL^T分解

-6.6 置换矩阵

-6.7 PA=LU分解

-第六讲 LU分解--6.8 课后作业

第七讲向量空间

-7.1 引言

-7.2 向量空间和子空间

-7.3 列空间和零空间

-7.4 阶梯形

-第七讲向量空间--7.5 课后作业

第八讲求解齐次线性方程组

-8.1 引言

--8.1 引言

-8.2 基础解系

--8.2 基础解系

-8.3 简化行阶梯形的列变换

--8.3 简化行阶梯形的列变换

-第八讲求解齐次线性方程组--8.4 课后作业

-第八章讲义

第九讲求解非齐次线性方程组

-9.1 复习

--9.1 线性代数复习

-9.2 求特解

--9.2 线性代数求特解

-9.3 解的一般性讨论

--9.3 解的一般性讨论

-第九讲求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业

-第九章讲义

第十讲线性无关、基与维数

-10.1 引言

--引言

-10.2 n维空间的坐标系

-10.3 无关性、基与维数

-10.4 无关性、基与维数的性质

-10.5 关于秩的不等式

-第十讲线性无关、基与维数--10.6 课后作业

-第十章讲义

第十一讲四个基本子空间的基和维数

-11.1 四个基本子空间的基

--11.1

-11.2 维数公式

--11.2

-11.3 例题

--11.3

-第十一讲四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业

-第十一章讲义

第十二讲四个基本子空间的正交关系

-12.1 引言

--12.1

-12.2 四个子空间的正交性

--12.2

-12.3 正交补

--12.3

-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性

--12.4

-第十二讲四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业

-第十二章讲义

第十三讲正交投影

-13.1 引言

-13.2 点在直线和平面上的投影

-13.3 一般情形

-第十三讲正交投影--13.4 课后作业

第十四讲最小二乘法

-14.1 复习

--14.1 复习

-14.2 最小二乘法

--14.2 最小二乘法

-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合

--14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合

-第十四讲最小二乘法--14.4 课后作业

-第十四章讲义

第十五讲 Gram-Schmidt正交化

-15.1 引言

--15.1 引言

-15.2 正交向量组和正交矩阵

--15.2 正交向量组和正交矩阵

-15.3 Gram-Schmidt正交化过程

--15.3 Gram-Schmidt正交化过程

-15.4 QR分解

--15.4 QR分解

-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业

-第十五章讲义

第十六讲行列式的基本性质

-16.1 引言

-16.2 二阶行列式的几何含义

-16.3 一般行列式的定义

-16.4 行列式和初等变换

-第十六讲行列式的基本性质--16.5 课后作业

-第十六章讲义

第十七讲行列式的计算

-17.1 行列式计算公式与展开定理

--17.1 行列式计算公式与展开定理

-17.2 典型例题

--17.2 典型例题

-第十七讲行列式的计算--17.3 课后作业

-第十七章讲义

第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义

-18.1 引言

-18.2.1 求逆矩阵公式

-18.2.2 线性方程组的公式解

-18.3 计算有向长度、面积和体积

-18.4 和QR分解的联系

-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业

-第十八章讲义

第十九讲特征值与特征向量

-19.1 引言和定义

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-19.2 例

--default

-19.3 特征值的性质

--default

-第十九讲特征值与特征向量--19.4 课后作业

-第十九章讲义

第二十讲矩阵的对角化

-20.1 矩阵可对角化的条件

--default

-20.2 特征值的代数重数和几何重数

--default

-20.3 矩阵可对角化的应用

--default

-20.4 同时对角化

--default

-20.5 小结

--default

-第二十讲矩阵的对角化--20.6 课后作业

-第二十章讲义

第二十一讲特征值在微分方程中的应用

-21.1 引言

-21.2 A可对角化的情形

-21.3 矩阵的指数函数

-21.4 二阶常系数线性微分方程

-21.5 微分方程的稳定性

-第二十一讲特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业

-第二十一章讲义

第二十二讲实对称矩阵

-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量

-22.2 实对称阵正交相似于对角阵

-22.3 实对称阵特征值与主元的关系

-22.4 小结

-第二十二讲实对称矩阵--22.5 课后作业

-第二十二章讲义

结束语

-总结和预告

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10.4 无关性、基与维数的性质在线视频