当前课程知识点：线性代数(1) > 第二十一讲 特征值在微分方程中的应用 > 21.3 矩阵的指数函数 > 21.3 矩阵的指数函数
那接下来我们想说
如果你对于du/dt等于Au
这样的方程
那A如果不能够对角化
一般的情况下我们如何来求解
我们来引入矩阵的指数函数
回顾一下一般的指数函数
我们由泰勒展开
e的x幂等于1加上x加上x的平方
除以2的阶乘
一直加到x的n次方除以n的阶乘
加下去这个无穷极数
我们现在设A是一个n阶的方阵
我们可以类似的
去定义e的at次幂
这时候at是一个矩阵
含有t的一个矩阵
我们可以定义成什么呢
可以把它定义成是单位阵
对应着这个e x对应着这个at
单位阵加at 加at括号的平方
除以2的阶乘 加at的n次幂
除以n的阶乘 一直加下去
那么右手边是一个关于
矩阵的一个无穷的极数
不管怎么样讲
它得到的是一个矩阵
我们用这种方式
来定义e的at次幂
好 我们不去具体地
谈它的收敛的情况
我们可以形式化地去看
如果两边去关于t来求导
那么右手边关于t求导
这个单位阵它是一个常数矩阵
关于t求导是等于0的
A去乘以t
关于t求导是等于矩阵A
那么这一项关于t去求导
等于A的平方乘以t
然后是A的3次方t的平方
除以2的阶乘等等
那么它可以提出一个公因子
就是A去乘以这个无穷的和
那么这个不是别的
恰好是刚才我们引入的
e的at次幂
于是我们就得到
e的at次幂去关于t求导
就等于A的去乘以e的at次幂
这样的话 对我们刚才提到的
du/dt等于Au这个方程
我们说ut等于eatu0总是它的解
可以去验证
du/dt等于右手边关于t求导
是等于AeAtU0
而eAtu0就是我们的u（t）
好 这样的话说
Ut等于eAt乘以U0
总是du/dt等于Au的解
那我们来看一下
矩阵的指数函数的性质
如果这个矩阵是对角矩阵的话
lambda等于lambda1lambdan
那elambdat根据定义
它是单位阵加上lambdat
加lambdat平方除以2的阶乘
加lambdat的三次方除以3的阶乘
单位阵相应的
这lambda1t lambda2t lambdant
然后这一项呢给你是
lambda1t括号的平方除以2的阶乘
这是lambda2t平方除以2的阶乘
lambdant括号的平方除以2的阶
等等
我们发现在对角线上
给我们的是以e lambda1 t它来展开
所以它是elambda2t elambdant
这个就是我们的右手边
所以说对角矩阵
它的指数函数呢
是在对角元上做指数
这是简单的情形
那是一个要紧的性质
第二个性质
如果A和B乘积是可以交换的
也就是说AB等于BA
那么我们发现e的A+B次幂
是等于e的A次幂去乘以e的B次幂
如果这个对的话
我们可以发现这个
e的a次幂的逆矩阵
是等于e的负A次幂
这个可以看到说
e的A次幂和e的-A次幂
因为A和-A是乘积可以交换的
所以我们说它是等于
eA加上（-A）等于
e的零矩阵次幂
这个不是别的东西 就是单位阵
那么这样的话
这个方阵和这个方阵相乘
等于单位阵的话
那eA的逆矩阵就是e负A
而我们看一看这件事情
我们说eA加B次幂
根据定义等于
单位阵加上A+B
再加上A+B的平方除以2的阶乘
A+B的三次方除以3的阶乘
这个加下去
那么打开来看
因为AB等于BA
所以A+B括号的平方是等于
A的平方加B的平方加上2AB
那么2AB和这个2的阶乘给约掉
是加AB 这是这一项
那么同样的 这一项是
那么右手边eA去乘以eB
把eA的定义
单位阵加A加A的平方
除以2的阶乘
加A的三次方除以3的阶乘
代进来
eB等于单位阵加B
加B的平方除以2的阶乘
B的三次方除以3的阶乘
代进来 那么我们发现
你打开来这个右手边都是相等的
所以当AB可以交换的时候
我们有指数函数
指数在相加等于eA乘以eB
我们看一下第三条性质
如果存在一个可逆矩阵
使得A等于PBP逆
那么我们说e的At次幂就等于
P去乘以e的Bt次幂乘以P逆
那这是为什么呢
还是可以根据定义去看
e的At次幂
它等于e的PBP逆乘以t
那根据定义它等于单位阵
去乘以PBP逆t
加上PBP逆的平方除以2的阶乘
PBP逆t的三次方除以3的阶乘
那我们发现这个东西
是等于PBP逆
PBP逆t的平方 根据结合律
这个是等于单位阵的
所以这是等于单位阵
去加上Bt 加上Bt括号的平方
除以2的阶乘
Bt的三次方除以3的阶乘
把P和P逆都可以扔到两边去
那么中间的这个部分
就是e的Bt次幂
那么就得到右手边
当存在一个可逆矩阵P
使得A和B之间
满足这样的关系的话
我们叫A和B是相似的
那就是说A和B相似的话
e的At次幂是等于e的Bt次幂
去乘以这个
左手边乘以P 右手边去乘以P逆
这三条是非常要紧的性质
我们看一下
回到我们刚才的微分方程
du/dt等于Au
我们怎么来利用刚才三条性质
来看这个求解问题
如果A是可以对角化的
也就是说存在着一个可逆矩阵
使得S逆AS等于lambda为对角阵
那么换言之
A是等于SlambdaS逆的
我们由指数函数
矩阵指数函数的定义我们知道
du/dt等于Au一定会有解
这个解是e的At次幂去乘以U0
当A和对角阵
有这样的关系的时候
e的At次幂就是SelambdatS逆
那代进来再去乘以U0
我们S呢它的列向量
是记成S1 Sn
lambda是一个对角阵
elambdat 根据我们的第一条性质是
elambda1t elambdant构成的这个对角阵
我们把S逆U0
给记成是c1 cn这个常数向量
于是我们就得到
Ut是等于c1elambda1tX1
一直加到cnelambdantXn
这就是我们之前求出来的解
那再重复一下
S逆U0等于常数向量C
也就意味着说在这种情况下
当A可以对角化的时候
它有n个线性无关的特征向量
X1到Xn做成了空间中的基底
因此U0这个向量
可以由X1到Xn线性表示出来
也就是表示系数是c1到cn
那么这是等价的一件事
那么A如果不能对角化的时候
e的At次幂是多少
du/dt等于Au怎么求解
我们说不管A是否能够对角化
对于du/dt等于Au这个微分方程
我们一定有解
U的等于e的At次幂去乘以
U在零时刻的值
这个一定是对的
关键是如何求出e的At次幂来
我们下面来看简单的例子
我们看A这个矩阵
是0 1 -1 2这个矩阵
那么我们来看看它的特征值
我们去看特征多项式
A-lambdai的行列式
容易求出来是lambda-1括号的平方
因此它有两个重根
lambda1等于lambda2等于1
对应着这个特征值
A-I这个矩阵变成-1 1 -1 1
那么它的秩是等于1的
因此它的零空间的维数是等于1
我们可以求出来
它的解一定是1 1的常数倍
也就是说呢
它的特征子空间的维数是等于1
相应的呢
我们又叫它的几何重数是1
这个来的比代数重数这个2
要来的要小
因此它是不能够对角化的
在这种情况下A不能够对角化
可是无论如何我们是有这件事情
我们知道这个解
是eAt次幂去乘以U在0时刻的值
我们如何来求这个时候的eAt
我们注意到A这个矩阵
减去单位矩阵等于-1 1
-1 1这个矩阵
这个矩阵的平方是等于0的
或者我们说A-I这个矩阵
它是一个幂零矩阵
那么我们e的At次幂
我们就可以把At给拆成A-I
乘以t再加上单位阵乘以t
那么A-I这个矩阵
和单位阵这个矩阵是可以交换的
因此根据第二条性质
我们说它可以写成
e的A-I的t次幂去乘以e的It次幂
这个I是一个对角阵
它的t次幂是等于对角线上
做指数函数
这是一个很特殊的对角阵
它就等于et乘以单位阵
好 那么我们这个乘积就等于
我把这个单位阵和它相乘
还是这个矩阵自己
我们就把这个et给提出来
那里面呢
里面这个e的A-It次幂
根据矩阵指数函数的定义
它等于单位阵加上A-I乘以t
再加上A-I的平方t的平方
除以2的阶乘等等
但是因为我们上面已经知道
A-I的平方是等于0的
所以后面这些所有的项都等于0
因为它是个幂零矩阵
所以它的指数函数只有有限的项
有限项的和
我们是一定可以确切求出来的
好 那e的At次幂
就等于et去乘以I
加上A-I去乘以t
它是等于下面这个矩阵
这就是e的At次幂
那么于是我们的Ut等于eAt
去乘以U0就等于et
把这个代进来e-t t -t
1+t 这是eAt 这是eAt
再乘以t等于0时刻U的值
好 通过这个简单的例子
我们发现这时候
我们的这个矩阵A
尽管它不能够对角化
但是它可以写成单位阵
加上A-I
那这种分解它的特点是说
它可以写成了一个对角阵
加上了一个幂零阵的和
那一般情况下呢
是说对于一个复矩阵A
我们总存在着可逆矩阵复的
使得P逆AP等于一个对角阵
加上一个幂零阵
这个是对角阵 这个是幂零阵
那么并且呢 并且呢
这个对角阵lambda和幂零阵
乘积是可以交换的
那我们总有这件事情
这件事情叫做A
它相似于它的约当标准形
我们之后会学到
我们来看一下
如果对于一个复方阵A
我总存在着可逆矩阵P
使得P逆AP等于一个对角阵
加上一个幂零阵
那在这种情况下
我们就有什么事情呢
我们e的At次幂
好 这种情况下
A就等于Plambda加n P逆
于是e的At次幂就等于
P去乘以elambda+ntp逆
那么因为lambda和n是可以交换的
因此它的指数函数
是等于各自的指数函数再去相乘
那么我们又知道
因为lambda是一个对角矩阵
我们会算它的指数函数
就是对角元上去取指数函数
这个是会的
然后e的nt次幂呢
n是一个幂零矩阵
所以它有限项一定是会终止的
这个一定是有限项
我们也是可以确切求出来的
于是我们就可以去求出这个eAt
那么我们就可以去求出
du/dt等于Au的这个解
eAt可求 这个就可解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
--default
-19.2 例
--default
-19.3 特征值的性质
--default
-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
--default
-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
--default
-20.4 同时对角化
--default
-20.5 小结
--default
-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
