当前课程知识点：线性代数(1) > 第八讲 求解齐次线性方程组 > 8.2 基础解系 > 8.2 基础解系
好 我们现在来看如何求解
齐次方程组Ax等于0的基础解系
我们来看下面这个例子
这个例子是一个两个方程
四个未知量的
那么我们先要把这个系数矩阵A
通过化简化成这样一个形式
这个形式呢
实际上是第一行乘上-1
加到第二行上
那么我们就得到了第一行的
第一个非0元是主元
然后第二行第一个非0元
-3是主元
那么这样一个形式的矩阵呢
我们把它叫做行阶梯形矩阵
那么因为我们只做了行变换
所以Ax等于0
和Ux等于0同解
所以我们有NA等于NU
一般来说
一个行阶梯形矩阵
它有这样一些特点
它的零行
就是你通过A化到最后呢
得到的有些行被化成0了
那0行呢 总是
我们把它移到矩阵的底部
那么这一零行所对应的方程
实际上就是我们的
可以不起作用的方程
也就是说能被其他方程
通过线性组合给出来的
还有一些非零行
非零行的最左边的第一个非零元
就是我们的主元
那么
为什么它叫行阶梯形矩阵呢
正是因为它的主元所在的列
是严格单调递增的
比如说这个主元
第一个主元
它所在的列是第一列
第二个主元
它所在的列就是严格增加了
是2
也就是下一个主元
总是在前一个主元的右边
严格的在右边 右下方
另一方面我们可以看到
对于每一个主元它所在的列
在主元以下呢都是0
所以一般的一个行阶梯形呢
如果我们在每一个主元那块
做个拐弯
那么它最后呢
这就是主元所在的位置
那么它下面都是0
上面有可能不是0
这是一个行阶梯形的矩阵
大概的样子
那么行阶梯形矩阵
非零行呢
是代表的不能被消去的行
那么到U以后
我们仍然还不能很容易看出
方程组的解
那么我们继续消元
那么从U呢我们用-3
把上面这个1给它消去
那么我们消完了
又得到了这样的一个矩阵
那么这时候我们为了解出
这个方程的解呢
我们需要
把每一个主元再单位化一下
这样就变成了这种形式
这种形式实际上是
确切的已经给出了方程组的解
那么这种形式呢
我们把它叫简化的行阶梯形
就是我们从A通过行变换变成U
叫行阶梯形矩阵
然后再化成U0
就是简化的行阶梯形
简化的行阶梯形的主要特点是
它在每一行主元都写成1
然后呢把这个主元所在的列呢
只有一个非0元
就是主元所在列
其他元素都变成0了
为什么要化成这样一个形式呢
这样一个形式能保证
在每一行中
这一行的这个主元所在的位置
其他的主元在这一行
对应的那个列的位置都变成0
这样我们可以把这个方程组
写出来以后呢
我们可以看到它分两部分
我们还原回来
还原回来呢
关于这个U0x
就还原成这样的一个方程
这样我们把主元对应的这个变量
留在左边
然后呢非主元的
其他的东西都移到右边去
这样我们解出方程组的解
容易看的形式呢是向量形式
就是下面这个形式
那么这时候
我们已经很容易看出来了
任何一个解
都是这个向量
和这个向量的线性组合
而且组合这个系数也很明显
实际上
就是我们非主元所对应的变量
x3和x4
这两个向量呢
就是我们要的所谓的基础解析
那么NA一般的解就是这种形式
好 那么我们现在就把
主元所对应的这些变量叫主变量
非主元所对应的变量
就是叫自由变量
因为什么呢
因为我们可以看这儿
这块c1 c2就是我们的x3x4
是可以自由变化的
叫自由变量 没有被约束
所以实际我们的基础解系呢
是跟自由变量是一一对应的
就是一个自由变量实际上
对应着一个基础解系中的向量
我们有下面这个定理
设A是一个m×n阶的矩阵
则A经过行变换
A可以化成一个行阶梯形矩阵U
那么这时候一般来说呢
这个行阶梯形一般是不唯一的
那么我们对U再进行化简
化成最简的行阶梯形矩阵U0
这个一般是唯一的
这个可以证明
这个例子呢
它有5个变量 有3个方程
那么我们按照刚才的方法呢
先把A写出来
A是这样一个矩阵
是一个三行五列的
然后我们对它做行变换
那最终呢
这个就化成了这样一个形式
这个呢就是一个行阶梯形了
但是呢这个还不是简化的
因为这个主元上面这个-5还留着
所以我们再往下化
最后再单位化
我们最后得到这样一个简化的
行阶梯形
这是主元所在的位置
然后我们把它还原成方程组
就是这个样子
那么这时候我们知道
x2 x4和x5是自由变量
x1 x3是主变量
然后我们把自由变量移到右边
最终我们就写出了这个解
这里面α1 α2 α3呢
就是我们要找的基础解系
那么这个基础解系刚才说
它能表达所有的解向量
那么当时有另外一个条件
α1 α2 α3是不是线性无关呢
我们来看一下
实际上呢我们来注意一下
这个α1我们不看其他部分
只看的它的第二行第二个分量
和第四个分量和第五个分量
那么α1的这几个分量呢
我们写出来是1 0 0
这个呢是0 1 0
这是α2的
α3的呢是0 0 1
就是我们看α1 α2 α3
这三个向量的第二 第四
和第五个分量
它们得到的一个短的
截取的三个向量呢
这三个向量明显是线性无关的
那么由此
我们实际上可以看出
α1 α2 α3就是线性无关的
这一个
可以推广到一般的一个结论
就是我把若干个向量
截取一部分
如果是线性无关的
那么把它延长以后呢
还是线性无关的
好 我们现在总结一下
这些具体的数量方面的规律
就是主元的个数
等于未知量的个数
减去自由变量的个数
也就是说我们所有的未知量
可以分成两部分
一部分是主变量
一部分是自由变量
而主变量
和主元的个数是一样多的
所以我们得到了这个等式
第二个自由变量的个数
跟基础解系向量的个数
是一样多的
我们看到基础解系的向量呢
它是怎么来的呢
我们看到刚才这个规律
是自由变量中一个取1
其他的取0然后得到一个
每一个只取其中一个1
其他的都取0得到的
所以呢自由变量有多少个
我们就得到了
多少个基础解系的向量
而它们明显也是无关的
第三个呢就是主元的个数呢
跟A的列向量中
无关向量的个数是一样多的
这一条我们要解释一下
就是当我们把A通过行变换
化成U的时候
那么A中的无关的列向量
那么对于U中相应的列呢
也是无关的
虽然列变的不一样了
我们来看刚才这个例子
在这个例子中我们看到A
这个呢是我们的U
我们看到这个U
明显的第一列和第三列
是线性无关的
那么A呢第一列和第三列
是线性无关的
也就是说在这个行变换过程中呢
列之间的相关无关性没有动
虽然内容变了
这个1 2 1变成了1 0 0
但是呢线性相关性和无关性
是没有动的
这个原因呢
是因为我们在做行变换的时候
我们只NA是等于NU的
所以如果A的无关的列向量
变成了U的相关的列向量
那么我们就可以在Ux的相应的
那一块就取一个非0的向量
而A中呢只能取0向量
这就不能保证NA跟NU是一样的
所以NA和NU一样
保证了A的无关列向量
就变成了U的无关列向量
这也就是告诉我们
A的无关列向量中的向量个数呢
跟主元的个数一样多
因为主元的个数
是等于U0中的无关列向量
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
--default
-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
