当前课程知识点：线性代数(1) > 第五讲 矩阵的逆 > 5.3 初等矩阵的逆 > 5.3 初等矩阵的逆
我们之前学过一些初等矩阵
初等矩阵包括消去矩阵
换行的这种矩阵它是置换阵
还学了一行去乘以一个非0数的矩阵
那我们看看它们是否可逆
它们的逆矩阵又是什么
我们通过举例来看
E21负5这个矩阵
表示的是单位阵的第二行减掉第一行的5倍
得到的这个消去矩阵
那么我们知道这个矩阵呢
如果是把它的第二行
加上第一行的5倍
我们就变回单位阵
也就是说我这个矩阵
去乘以另外的一个矩阵
这个矩阵我们叫什么呢
叫E21负5 叫E215
那么就等于单位阵
因此呢E215这个矩阵
这个矩阵是E21负5这个矩阵的逆矩阵
那么消去矩阵它是可逆的
它的逆矩阵仍然是一个消去矩阵
我们换行矩阵
P12是第一行和第二行交换
由单位阵的第一行第二行交换
得到的这样的一个矩阵
那么如果我们把它的第一行
和第二行再交换一遍
我们就变回到单位阵
也就是说它左乘上P12以后
是等于单位阵
那么P12的逆等于P12自身
换一次行的换行矩阵是可逆的
它的逆矩阵是它自己
还是一个换行矩阵
我们再来看D2(c)这个矩阵
它表示的是把单位阵的第二行
去乘以非0数c得到的一个矩阵
那么它如果是第二行
再乘以c分之一就变回到单位阵
也就是说我们可以知道
它的逆矩阵是这样的一个同形的矩阵
在第二行上乘以c分之一这样的一个矩阵
好 那这样我们就知道
初等矩阵
无论是消去矩阵也好
换行的这种矩阵作为置换阵也好
还是一行去乘以一个非0数的这种矩阵也好
它们都是可逆的
它们的逆就是把
它们变回单位阵的那个矩阵
它们的逆矩阵
和原来的矩阵都是同一种类型的初等矩阵
我们来看下面一个有趣的现象
我们两个消去矩阵相乘
E32(-4)和E21(-5)相乘
那么E21(-5)是
单位阵的第二行减掉第一行的5倍
得到的这样的一个矩阵
它左乘以E32(-4)这个矩阵
这个矩阵是单位阵的
第三行减掉第二行的4倍
得到的这样的一个矩阵
那么它们俩相乘
我们可以看成是对
后面这个矩阵来做
左边这个矩阵所赋予的初等行变换
那么我们在右边这个矩阵的基础上
它的第三行减掉第二行的4倍
那我们得到就是乘积的结果
那我们说这两个消去矩阵
它们都是可逆矩阵
它们的乘积也是可逆矩阵
那么它的乘积的逆矩阵呢
是等于我们把两个因子交换一下次序
再分别求逆
那么等于E21(-5)的逆矩阵
乘以E32(-4)的逆矩阵
那头一个矩阵它的逆矩阵是说
我们是变成E21(5)
那么E32(-4)的逆矩阵呢是E32(4)
那么这样两个矩阵相乘
我们看一下
相当于是对后面一个矩阵
我来做左边这个矩阵
所赋予的初等行变换
在后面这个矩阵的基础上
我第二行去加上第一行的5倍
那么我们很容易得到这个乘积的结果
那我们注意一下
在下面这个乘积里头
主对角线上是1
在主元的下方呢
我们有5和4
5和4是什么呢
是我们之前E32(-4)和E21(-5)
它们所代表的乘数
这是我们的l21
这是我们的l32
所以下面这个乘积
是很容易求出来
我的第三行没有受第一行的影响
在上面这个乘积里头呢
第三行受到了第一行的影响
那么这个简单的观察
在之后LU分解里头会用到
大家这儿可以做成简单的例题来看一下
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
