当前课程知识点：线性代数(1) > 第七讲 向量空间 > 7.3 列空间和零空间 > 7.3 列空间和零空间
大家好
我们现在呢来看一下
当时我们引入的向量
关于Ax等于b引入向量空间
那么跟Ax等于b
这个线性方程组相关的向量空间
主要有两类
一类我们叫列空间
一类叫零空间
这两类空间
充分刻划了Ax等于b
这个方程组的解的集合
我们来看一个例子
假设A是这样两列124
331这样两列
那么α1和α2
α1代表第一列 α2代表第二列
它们的全部线性组合呢
是一个R3的一个子空间
我们称为A的列空间记作CA
我们在前面已经说过
Ax等于b有解
当且仅当
b是A的列向量的线性组合
那么现在一个很主要的问题是
对于哪些Ax等于b有解呢
我们说了实际上呢
用现在的语言说呢
就是Ax等于b有解
我们原来说b是A的列向量的
线性组合
那么从现在这个语言上呢
实际上就是b属于CA
那么CA这个集合呢
我们确切的把它写出来呢
CA实际上是所有的c1α1
加上c2α2
那么我们可以看到CA呢
实际上是R3的一个子集
而且这个子集呢
我们可以看到
它对加法和数乘封闭
那么由于这是线性组合
所以对加法和数乘封闭
所以呢CA确实是一个子空间
这是合理的
那么从几何上我们来看
它实际上是一个过原点的平面
也就是CA实际上是一个平面
那我们大家可以看一下
这个CA实际上是α1和α2
张成的一个平面
那么这个平面的方程
我们可以写出来
这个平面的方程你只需要
算出它的法向量
就能写出这个平面的方程
那么我们最后可以算出来
这个平面的方程呢
实际上是10x-11y+3z等于0
就是这个平面
我们再来看另一个例子
A是这样一个5乘5的矩阵
那么它有5列
那么它的列空间呢
就是这5列的全部线性组合
那我们写出来呢
实际上是这个样子的
那进一步总结一下呢
我们可以看到
实际上呢这个列空间呢
实际上它的这5个分量满足
第一加第三加第五个分量
和等于零
所以我们最后可以发现
实际上这个V呢是R5中的
一个超平面
就是说我们在三维空间中讲平面
实际上是比三维低一维的空间
我们叫二维平面
那么在R5中呢
我们可以看到这个V呢
它满足b1+b3+b5等于0
实际上我们后面会发现
这个V是5维空间中的
一个4维平面
我们这儿加超呢
就是说它跟通常的不一样
那么我们可以看到
如果我们考虑Ax等于b有解
对于这个A
那么当且仅当
b它要属于这个超平面
好了 我们下面说这个定理
就是Ax等于b有解
这个b当且仅当属于CA
这个刚才我们说过了
例如Ax等于0我们总有解
因为0向量就是x取0的时候
满足这个等式
好 我们再看这个例子
A现在是三列
四维向量做成的列向量
那我们来看b等于1234
是不是属于CA
那我们怎么来判定这一点呢
那么实际上我们可以看到
1234 A的第一列呢
恰好就是1234
所以呢我们
如果大家熟悉矩阵
乘向量的乘法我们可以看到
b正好是等于A乘以1 0 0
这是关于列空间
那么还有一类重要的呢
跟解相关的呢
我们知道这是NA
也就是Ax等于0的解的集合
那么这个解的集合呢
它实际上我们也说过
它实际上是一个子空间
是Rn的一个子空间
大家要注意一点
就是如果Ax等于b
不等于0的解集呢
它不是一个空间
这个刚才我们才说过
它的解集呢
实际上是它的一个特殊解
加上一个特殊的非0解加上NA
那么从中可以看出x等于0
肯定不是它的解
也就是说x等于0
不是Ax等于b的解
所以呢它当然不应该是一个空间
我们有下面这个定理
就是Ax等于0有无穷解
那么当且仅当
A的列向量线性相关
我们知道Ax等于0有无穷解呢
实际上这个呢
就是我们看这儿
A的列向量线性相关
实际上告诉我们Ax等于0
有非零解
这两个是等价的
比如说A等于α1 α2 α3
那么A的列向量线性相关意味着
这句话意味着
存在着c1 c2 c3不全为0
c1α1加上c2α2加c3α3等于0
那么也就意味着
c1 c2 c3是这个Ax等于0的解
这个解呢它不等于0
因为这个不全为0
那么一旦它有一个非0解的话
那么我们把这个解给它乘上2
乘上3
然后乘上任意的倍数呢
它还是它的解
所以我们可以看到
t乘上c1c2c3也是Ax等于0的解
这就是告诉我们它有无穷解
它一旦有一个非0解
那么它就有无穷个非0解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
