当前课程知识点：线性代数(1) > 第二讲 矩阵与线性方程组 > 2.2 可逆矩阵 > 2.2 可逆矩阵
给出一个线性方程组
Ax等于b
它解的情况要比这个数量方程
ax等于b
这时候这个小a 小b都是单纯的数
比这种情形它要复杂的多
但是如果我们的线性方程组
Ax等于b对于任何的向量b
都有唯一解的话
这时候我们称这个系数矩阵
A是可逆的
我们来看例子
给一个三元一次方程组
x1等于b1
-x1加上x2等于b2
-x2加x3等于b3
那这个方程组写成矩阵的形式
我们把这个系数抽出来
1 0 0
-1 1 0 0 -1 1
再乘以未知向量x1 x2 x3
等于右手边的b1 b2 b3
任意给定的这个b1 b2 b3
这个方程组它有唯一的解
我们x1是等于b1的
x2等于b1加b2
x3等于b1加b2加b3
那么对于任何的向量b
我们方程组有唯一的解
因此根据上面的定义呢
我们说系数矩阵是可逆的矩阵
我们说对线性方程组Ax等于b
如果系数矩阵A是可逆的
那么我们可以由常数项b
求得这个x
我们看刚才的这个例子
我们已经求得了x1等于b1
x2等于b1加b2
x3等于b1加b2加b3
那么换一种方式来表达
我们的未知向量x1 x2 x3
可以写成矩阵
这样的一个矩阵去乘以b1
b2 b3这个向量
也就是说我们用常数向量
来表示了这个未知向量x
那么这个矩阵是从
我们这个里头看出来的
我们把
我们说这个矩阵S就叫做是
原来的系数矩阵A的逆矩阵
如果我们u是等于u1 u2 u3
v是v1 v2 v3
w是w1 w2 w3
这个三个三维向量
我们把它作为列向量构成矩阵A
这样的矩阵A如果是可逆的
我们说对于任意的三维向量b
Ax等于b有唯一的解
也就是说我的u v w的
全部线性组合是整个三维空间
那么这个时候0向量
可以写成u v w的线性组合
就只有一种可能
只能写成0乘以u
加上0乘以v
再加上0乘以w
在这种情况下
我们就称这个向量u v w
是线性无关的
那么相应的Ax等于0
是只有0解
如果我们有u v w的线性组合
等于0的话
只能是这个系数是等于0
这时候我们叫这个向量
u v w线性无关
否则0可以写成u v w的
多种线性组合
比如说u等于1 0 0
v等于0 1 0
w等于1 1 0
那么0向量就可以写成
0乘以u加上0乘以v
再加上0乘以w
或者呢也可以写成
1乘以u加上1乘以v
再加上-1乘以w
它有不同的组合方式
那么在这种情况下
我们就称由u v w
作为列向量构成的这个矩阵A
是奇异的
那么向量呢u v w
叫做是线性相关的
也就是说我存在着不全为0的数
不全为0的数c d e
使得cu加dv加ew等于0
我们来看看下面这个例子
我们给定这个b1 b2 b3
三个实数
我们来看这个方程组
x1减掉x3等于b1
x2减掉x1等于b2
x3减掉x2等于b3
我们把这个线性方程组表示成
矩阵的形式
我们系数矩阵拿出来是1 0 -1
-1 1 0 0 -1 1
我们把它记成是系数矩阵A
那未知向量我们仍然是记成x
右手边的这个常数向量
我们叫做是b
那这个系数矩阵呢
我们说它是所谓的循环差分矩阵
好 我们注意到
方程组本身很简单
如果右手边的b是等于0的话
很容易解出来说我们的解是x
它是1 1 1
乘以任何的一个实数
那这是标志着说
我们这个线性方程组
是有无穷多个解
如果这个常数向量等于1 3 5
那么我们看左手边
左手边你来看列向量加起来
是等于0的
每一列是等于0的
右手边如果是1 3 5的话
它这个和是等于9
不等于0
这个方程组是没有解的
1 3 5这个向量不能够写成
系数矩阵里头列向量的线性组合
这个方程组没有解
从几何上来看
向量u 1 -1 0
v 0 1 -1
w -1 0 1
它们是所谓线性相关的
它们的全部线性组合呢
是平面x+y+z等于0
那么u v w
是这张平面上
三个互不平行的向量
0向量可以有无穷多种表示方式
那么这三个表示成
u v w的线性组合
而常数向量1 3 5
它是落在这张平面外面的
必不能够写成u v w的线性组合
所以这个方程组Ax等于b
是没有解的
方阵A它的列向量线性无关
这个矩阵A是可逆的
相应的Ax等于0这个线性方程组
只有0解
如果我们的方阵A的列向量
是线性相关的
那么我们这个矩阵A就是奇异的
Ax等于0有无穷多解
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
