当前课程知识点：线性代数(1) > 第五讲 矩阵的逆 > 5.2 矩阵可逆的性质 > 5.2 矩阵可逆的性质
我们来看一下矩阵可逆的性质
给一个方阵A
如果它满足AB等于单位阵
CA等于单位阵
也就是说A存在着右逆,又存在着左逆
那么B就等于C
就是说左逆和右逆一定相等
并且它就是我们的逆矩阵
那么特别的我们说
方阵如果有逆的话,它一定是唯一的
这个性质很容易证明
我们来看 C等于C乘以单位阵
那这个单位阵呢
又等于A和B相乘
那我们利用乘法的结合律
C和A放在一起又等于单位阵
单位阵乘以B以后等于B
所以我们有左逆等于右逆
就等于矩阵的逆
那事实上, 这条性质
对于一个m乘n的矩阵A也可以证明
A如果是m乘以n的
然后既有右逆又有左逆
那么一定可以推出来
这个矩阵是一个方阵
并且呢我们由上面的知道
我们就说B就等于C
这个性质大家可以下去自己试一下
我们来看这个性质
如果A是可逆的
根据我们这里的定义
也就是说我存在着这个B使得AB等于BA等于单位阵
那么我们说Ax等于b这个线性方程组就一定有唯一解
x等于A逆b
那这个性质本身很容易证明
我们把线性方程组Ax等于b的两边左乘以A逆
那我们就得到A逆Ax,就是等于x
右手边的A逆b
于是得到x等于A逆b
事实上反过来也是成立的
如果我们现在是对于任意的b
这个Ax等于b都有唯一解
那我特别的对于Ax等于ej
把b特别的取成ej这种向量
ej是什么样的向量呢
是(0...1...0)这样的向量
在j的分量是1,其他元素都是0的向量
我们说对于这个线性方程组
它有唯一解
我们记成是xj
那我们把这个x1, x2,..., xj,..., xn
放在一起构成的这个矩阵
用A去乘的话
根据它的性质它应该是等于(e1, e2,..., ej,...,en)
这就是单位阵
那么我们说我对A存在着一个矩阵
使得A去乘以它以后等于单位阵
那么这个矩阵就是A的逆矩阵
那我们这里偷偷的用了一个性质
我说如果它存在着右逆的话
它就一定是一个可逆矩阵
下面我们会再去证明这件事情
我们在第二节中其实曾经就利用右手边这个性质
说对于任何的b
Ax等于b有唯一解
来作为可逆矩阵的定义
那从这里头我们可以看得出来
我A可逆和Ax等于b对于任意的b有唯一解
它是等价的
那么这部分证明呢
接下来我们去求A的逆矩阵的时候
本质的想法也是利用的这部分想法
总之A可逆
等价于对于任意的b, Ax等于b有唯一解
这个唯一解就是x等于A逆b
我们说由上面的性质我们知道
A如果是一个可逆矩阵
那么Ax等于0有唯一解
我们知道Ax等于0这个方程组呢
自然有一个解是0解
说它有唯一解, 就是说它只有0解
这个命题的逆否命题就是说
如果Ax等于0有非0解的话
矩阵A一定是不可逆的
我们还可以将来可以看到
这个事情其实是一个等价命题
Ax等于0只有0解等价于A是可逆的
或者说A不可逆等价于Ax等于0有非0解
那对于特殊的2乘2的矩阵
它四个元素是a b c d
它是可逆的,等价于ad-bc这个数是不等于0的
这个数我们将来知道它是A的行列式
那么当A可逆的情况下
A逆一定是后面这个矩阵
ad-bc不等于0
我们用它来作分母
ad-bc分之一去乘以后面这个矩阵
这个矩阵的构成呢
是在A的基础上
主对角项的元素交换次序, a d变成d a
斜对角上的元素呢位置不变, 加一个负号
那么很容易我们可以验证知道
你这样给出来
如果ad-bc不等于0的话
你这样给出来的A逆这个矩阵
它去乘以A就等于单位阵
所以它是它的逆矩阵
那么翻回头来
如果A是可逆的
那么我们假设ad-bc等于0
我们知道A是可逆矩阵
所以呢A一定不是0矩阵
也就是说四个元素不同时为0
我们来看如果a和b不同时为0
那么我们Ax=0这个线性方程组有非0解x=(-b a)
那如果a,b同时为0
那一定有c,d不同时为0
那Ax=b有非0解(-d c)
总之在这种情况下
如果ad-bc=0的话
Ax=0是有非零解的
那么由上面这一条
A一定是不可逆的
这与我们的假设条件A可逆是矛盾的
所以就是说可逆矩阵
一定可以得到ad-bc要不等于0
有了这样的命题呢
我们对于给定的一个2乘2的矩阵
我们很容易判断它是否可逆
然后如果可逆的话
我们很容易写出来它的逆矩阵
比如这个简单的例子
A是3 4 5 6来构成一个2乘2矩阵
我们看主对角线上的乘积3乘以6
减掉斜对角线上的乘积4乘以5
等于的-2, 不等于0
所以A是可逆的
那么它的逆矩阵就是-1/2
取主对角线上的元素交换次序
斜对角线上的元素加一个负号
那我们就得到这个2乘2矩阵的逆矩阵
再来看特别的这个矩阵
D是一个对角阵
所谓对角阵来说
只有主对角线上的元素可能非0
然后其他的位置上的元素
都是等于0这样的矩阵
那么它是一个可逆矩阵
根据定义我们很容易看到
那么对角元一定要都不等于0
那么在这种情况下
这个对角矩阵的逆矩阵
就是主对角元变成原来对角元的倒数
d1分之一到dn分之1
来作为对角元
还有一个性质
我们之前其实在悄悄用了一个性质
方阵A和B如果满足AB等于单位阵
也就是说我B是A的右逆
那么我就可以证明
B一定是A的左逆
也就是说B乘以A等于单位阵
并且呢这个A是可逆的
它的逆矩阵就是B
对方阵, 右逆就是矩阵的逆
我们将来可以用行列式简单的证明这个性质
也可以通过后面关于主元的讨论
来证明这个性质
我们再来看可逆矩阵的一些性质
如果A是一个可逆矩阵
我们可以知道A的逆矩阵也是可逆的
并且A的逆矩阵的逆就是A自身
这个由定义一下子可以看得出来
因为我们有A乘以A逆等于A逆乘以A等于单位阵
所以A的逆矩阵的逆也就是它自身
如果两个n阶的方阵A和B都是可逆的
我们说它们的乘积就是可逆的
而且这个乘积的逆
就等于交换一下次序, B逆乘以A逆
那这个很容易验证
AB这个乘积矩阵去乘以B逆A逆
根据矩阵乘法的结合律我们知道
它等于B和B逆先相乘再乘以A逆
那等于这是单位阵
等于A去乘以A逆
等于单位阵
反之我们可以
翻过来次序我们也可以得到
B逆A逆去乘以AB也等于单位阵
所以乘积矩阵的逆是等于B逆A逆
那么从这里头自然的可以诱导出来一条性质
我们有多个矩阵
比如说三个矩阵A B C
它们都是可逆矩阵
那它的逆矩阵就等于
C逆B逆A逆的乘积
如果A是一个可逆的
那么它的转置矩阵也是可逆的
并且转置矩阵的逆就等于逆矩阵的转置
那这个也可以简单的证一下
我们根据转置的性质
它是等于A逆乘以A
然后再做转置这个交换一下次序
A逆乘以A等于单位阵
单位阵它是一个对角阵
它的转置是它自己
那么同样地也可以看到
这个A逆的转置去乘以A的转置
是等于A乘以A逆的转置
等于单位阵的转置, 等于单位阵
所以可逆矩阵它的转置是可逆的
转置矩阵的逆等于逆的转置
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
